σ-代数

在数学中，某个集合 X 上的 σ-代数（英语：σ-algebra）又叫 σ-域（英语：σ-field），是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性（因此对于可数个交集运算也是封闭的）。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给$X$的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义

定义 — 
$X$ 为一集合，假设有子集族 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$（ ${\mathcal {P}}(X)$ 代表 $X$ 的幂集）满足下列条件

1. $X\in {\mathcal {F}}$
2. $(\forall F\in {\mathcal {F}})\left[(F\in {\mathcal {F}})\Rightarrow (X-F\in {\mathcal {F}})\right]$
3. $(\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}$

则称 ${\mathcal {F}}$ 是 $X$ 的一个 σ-代数。

注意到定义第3条的${\mathcal {A}}\cong \mathbb {N}$，意思是 ${\mathcal {A}}$ 和自然数系 $\mathbb {N}$ 等势，直观的意思就是 ${\mathcal {A}}$ 里的元素跟自然数一样多。

以上定义的直观意义为：一群 $X$ 的子集合所组成的集合 ${\mathcal {F}}$ ，为 $X$ 上的一个 σ-代数意思是满足：

• $X$ 本身就是 ${\mathcal {F}}$ 的元素；
• 如果集合 $A$ 在 ${\mathcal {F}}$ 中，那么它的补集 $X-A$ 也在${\mathcal {F}}$中；
• 如果有可数个集合 $A_{1},A_{2},\cdots$ 都在 ${\mathcal {F}}$ 中，那么它们的并集也在${\mathcal {F}}$ 中。

在测度论里有序对 $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ 会被称为一个可测空间。而任何在 ${\mathcal {F}}$ 中的子集 $A$，则称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， ${\mathcal {F}}$ 被称为事件族（family of events）， ${\mathcal {F}}$ 中的子集 $A$ 则称为事件。

例子

• $X$上最小的σ-代数是$\{\varnothing ,X\}$。
• $X$上最大的σ-代数是$X$的幂集${\mathcal {P}}(X)$（也就是所有 $X$ 的子集合所组成的集合）

最小σ-代数

定理 — 
设 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$\sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

也是$X$ 的σ代数。

证明

根据 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 的定义（严谨来说，依据分类公理所新增的公理），对所有集合 $A$ 有： $A\in \sigma ({\mathcal {F}})\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\}$ (a) 以下将逐条检验σ代数的定义，来验证 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 的确是 $X$ 的σ代数： (1) $X\in \sigma ({\mathcal {F}})$ 对所有的集合族 $\Sigma$ 来说，只要 $\Sigma$ 是σ代数，按照定义理当有 $X\in \Sigma$ ，所以由式(a)的右方的确可以得出 $X\in \sigma ({\mathcal {F}})$ 。 (2)若 $A\in \Sigma$ ，则 $X-A$ 也在 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 中 若 $A\in \Sigma$ ，那根据式(a)，对所有的集合族 $\Sigma$ 来说，只要 $\Sigma$ 是σ代数 且${\mathcal {F}}\subseteq \Sigma$，理当有 $A\in \Sigma$，所以对所有 $\Sigma$ 只要满足这两个条件，理当有 $X-A\in \Sigma$，所以由式(a)的右方的确有： $(\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}$ (3)可数个并集也在 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 中 若 $\{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})$ ，由式(a)，只要 $\Sigma$ 满足(a)左方的两个条件，就有 $\{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma$ ，所以： $\bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma$ 所以再从(a)右方，就可以得到： $\bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})$ 综上所述， $\sigma ({\mathcal {F}})$ 的确是 $X$ 的σ代数。$\Box$

根据以上的定理，可以做以下的定义：

定义 — 
${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$\sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

称为包含 ${\mathcal {F}}$ 的最小σ-代数。

例子

• 设集合$X=\{a,b,c,d\}$，那么$\sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}$ 是集合$X$上含有 $\{a\}$ 的σ-代数中最“小”的一个。

性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。