在抽象代数中，交错代数是乘法不满足结合性，仅满足交错性的代数。也就是说，我们有：
对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的非结合代数，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。
结合子[编辑]
交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：
![{\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：
![{\displaystyle [x,x,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![{\displaystyle [y,x,x]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeab85c1f13c8a8fd1653b39fd5bd6b718306ec)
两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：
![{\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bae2b45897eaef18c2bc50d102fc7f2888ab884)
对于任何置换σ。于是可以推出：
![{\displaystyle [x,y,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4524ce3f04a28c8e5bc542173a6223f00b0412f)
对于所有的x和y。这等价于所谓的柔性恒等式：
因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：
- 左交错恒等式：
- 右交错恒等式：
- 柔性恒等式：
这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。
一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。
阿廷定理说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素
是结合的（也就是说，![{\displaystyle [x,y,z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cef9c8a4542f9ded3ac917172894e992a8f533)
），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。
阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。
穆方恒等式
在任何交错代数中都成立。
在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素
和所有的
，都有：
这等于是说，对于所有这类的和，结合子![{\displaystyle [x^{-1},x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b240bc5bf9c148e84b2502f1442c3931f5654e4)
都是零。如果和是可逆的，那么
也是可逆的，其乘法逆为
。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。
任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。
参考文献[编辑]
