对角论证法

对角论证法是乔治·康托尔于1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。

对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它数系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它们一般亦称为对角论证法。

实数[编辑]

康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反证法完成的，步骤如下：

假设区间[0, 1]是可数无穷大的，已知此区间中的每个数字都能以小数形式表达。
我们把区间中所有的数字排成数列（这些数字不需按序排列；事实上，有些可数集，例如有理数也不能按照数字的大小把它们全数排序，但单只是成数列就没有问题的）。对于那些有两种小数形式的数字，例如0.499 ... = 0.500 ...，我们选择前者。
举例，如果该数列小数形式表现如下：
r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
考虑 $r_{k}$ 小数点后的第k个位，我们给这些数字加上底线与粗体。从这里可以看出“对角论证法”名称的由来。
r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

...
我们设一实数 $x\in [0,1]$ ，其中 $x$ 的第k个小数位为 $r_{k}$ 的第 $k$ 个小数位加2之后的个位数值。(例如说，r1的第1个小数位加2便是7）
明显地 $x$ 是一个在区间[0, 1]内的实数，以之前的数列为例，则相对应的 $x$ 应为 0 . 7 3 6 2 4 5 7 ...。
由于 $x$ 的特殊定义， $x$ 和 $r_{n}$ 会在第 $n$ 个小数位不同。这使得序列 $(r_{1},r_{2},r_{3},...)$ 之中所有的实数俱不能与 $x$ 完全相等，即 $x$ 不在序列 $(r_{1},r_{2},r_{3},...)$ 中。
但我们假设 $(r_{1},r_{2},r_{3},\ldots )$ 包括了所有区间[0, 1]内的实数，即应该要存在一个 $r_{n}=x$ 。这发生了矛盾。
所以在第一点内所提出的假设“区间[0, 1]是可数无穷大的”不成立，证毕。

外部链接[编辑]