恩布里-特雷费森常数

在数论中，恩布里-特雷费森常数（Embree-Trefethen constant）是一个和随机费波那西数列有关的阈值，符号为$\beta ^{*}$，其近似值为0.70258（OEIS数列A118288）。

针对一固定的正数$\beta$，考虑以下的递回关系式

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,$

递回关系式中的正负号部分是随机决定，相加及相减的几率各是一半。

可证明对于任何的$\beta$，以下极限

$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,$

几乎必然存在。也就是说，数列表现类似指数的几率为1。

可得以下的式子

在$0<\beta <\beta ^{*}=0.70258$（近似值）时，$\sigma <1$,

因此当$n\rightarrow \infty$时，数列以指数形式递减的几率为1

在$\beta >\beta ^{*}$时，$\sigma >1$,

因此数列以指数形式成长

有关$\sigma$的数值，可得：

• $\sigma (1)=1.131\ 988\ 24\ldots$（Viswanath常数）及
• $\sigma (\beta ^{*})=1$.

此常数的命名是来自应用数学家马克·恩布里及劳埃德·尼古拉斯·特雷费森。

参考资料

• Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society, 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412  [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Random Fibonacci Sequence. MathWorld.