旋转群SO(3)
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在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持向量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。
两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用 SO(3) 来表示。
长度与角度[编辑]
除了保持长度（保长），旋转也保持向量间的角度（保角）。原因是两向量u和v的内积可写作：
R3中的保长变换保持了标量内积值不变，也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见典型群。
旋转轴[编辑]
三维空间中非平凡的旋转，皆绕着一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R3的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。
举例来说，绕着正z轴旋转φ角的逆时针旋转为
给定R3中一单位向量n以及角度φ，设R(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：
- R(0, n)为相等变换（identity transformation），n任意单位向量；
- R(φ, n) = R(−φ, −n)；
- R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。
利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位向量n的任意旋转有如下性质：
- 若φ = 0，n可为任意单位向量；
- 若0 < φ < π，n为特定单位向量；
- 若φ = π，n为彼此反向的两特定单位向量；亦即，旋转R(π, ±n)是等价的。
有限子群[编辑]
SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：
- Ck：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
- Dk：正k边形的二面体群
- T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面体群
- O：立方体或正八面体旋转的24阶八面体群
- I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面体群