棣莫弗公式

复平面上的立方根等于1.

棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式，命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗（1667年－1754年）。其内容为对任意实数$x$和整数$n$，下列性质成立：

$(\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

其中$i$是虚数单位（$i^{2}=-1$）。值得注意的是，尽管本公式以棣莫弗本人命名，他从未直接地将其发表过。为了方便起见，我们常常将$\cos x+i\sin x$合并为另一个三角函数cis(x)，也就是说：

$\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)$

在操作上，我们常常限制$x$属于实数，这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把$\cos(nx)$和$\sin(nx)$变化为$\cos x$和$\sin x$的形式。另外，尽管棣莫弗公式限制$n$须为整数，但倘若适当推广本公式，便可将$n$拓展到非整数的领域。

证明

（证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令$P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N}$

（1）当$n=0$时，显然成立。

（2）当$n=1$时：

左式 $=(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=$ 右式

因此，$P(1)$成立。

（3）当$n>1$时：

假设$P(k)$成立，即$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )$

当$n=k+1$时：

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&\ {\overset {1}{=}}\cos(k\theta +\theta )+i\sin(k\theta +\theta )\\&\ =\cos[(k+1)\theta ]+i\sin[(k+1)\theta ]\\\end{aligned}}$

等号1处使用和角公式。

因此，$P(k+1)$也成立。

综上所述，根据数学归纳法，$\forall n\in \mathbb {N}$，$P(n)$成立。

另外，由恒等式：

$(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))\cdot (\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))=1$

可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

检验

最简单的方法是应用欧拉公式。

由于$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,$

所以${\color {Green}(\cos x+i\sin x)^{n}}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=e^{i(nx)}={\color {Green}\cos(nx)+i\sin(nx)}$

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的 $n$ 次方根。设 $|z|=1$，表为

$z=\cos \theta +i\sin \theta$

若 $w^{n}=z$，则 $w$ 也可以表成：

$w=\cos \phi +i\sin \phi$

按照棣莫弗公式：

$w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z$

于是得到

$n\phi =\theta +2k\pi$（其中 $k\in \mathbb {Z}$）

也就是：

$\phi ={\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}$

当 $k$ 取 $0,1,\ldots ,n-1$，我们得到 $n$ 个不同的根：

$w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1$