毕奥-萨伐尔定律

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

让-巴蒂斯特·毕奥

在静磁学里，毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）以方程描述，电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似，当电流缓慢地随时间而改变时（例如当载流导线缓慢地移动时），这定律成立，磁场与电流的大小、方向、距离有关。毕奥-萨伐尔定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与费利克斯·萨伐尔命名。

毕奥-萨伐尔定律表明，假设源位置为$\mathbf {r} '$的微小线元素$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'$有电流$I$，则$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'$作用于场位置$\mathbf {r}$的磁场为

$\mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$；

其中，$\mathrm {d} \mathbf {B}$是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场），$\mu _{0}$是磁常数。

已知电流密度$\mathbf {J} (\mathbf {r} ')$，则有：

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'$；

其中，$\mathrm {d} ^{3}{r}'$为微小体积元素，$\mathbb {V} '$是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线（vortex line）导出的速度。

概念

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程表示，

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\mathbb {L} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$；

其中，$I$是源电流，$\mathbb {L} '$是积分路径，$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'$是源电流的微小线元素。

应用这方程，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖着磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其向量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说，它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积$\mathbb {V} '$的积分方程：

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'$；

其中，$\mathbf {J}$是电流密度，$\mathrm {d} ^{3}r'$是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用毕奥-萨伐尔定律，必须改用杰斐缅柯方程。

匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场

由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷$q$以等速度$\mathbf {v}$移动，在时间$t$的位置为$\mathbf {w} =\mathbf {v} t$。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场：

$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}$、

$\mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E}$；

其中，$\theta$是$\mathbf {v}$和$\mathbf {r} -\mathbf {w}$之间的夹角。

当$v^{2}\ll c^{2}$时，电场和磁场可以近似为

$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}$、

$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi }}\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}$。

这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来，称为毕奥-萨伐尔点电荷定律。

安培定律和高斯磁定律的导引

这里，我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律和高斯磁定律。若想查阅此证明，请点选“显示”。

证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足高斯磁定律：

首先，列出毕奥-萨伐尔定律， $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$。 应用一个向量恒等式， ${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)$， 将这恒等式带入毕奥-萨伐尔方程。由于梯度只作用于无单撇号的坐标，可以将梯度移到积分外： $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$。 应用一个向量恒等式， $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$。 所以，高斯磁定律成立： $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$。

证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足安培定律：

首先，列出毕奥-萨伐尔定律： $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$。 任意两个向量$\mathbf {A} _{1}$和$\mathbf {A} _{2}$的叉积，取其旋度，有以下向量恒等式，： $\nabla \times (\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2})=(\mathbf {A} _{2}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{1}-(\mathbf {A} _{1}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{2}+\mathbf {A} _{1}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{2})-\mathbf {A} _{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{1})$， 取旋度于毕奥-萨伐尔方程的两边，稍加运算，可以得到 $\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\left[\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\right\}$。 应用著名的狄拉克δ函数关系式 $\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$， 可以得到 ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\\end{aligned}}$。 注意到x-分量， $[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=\nabla '\cdot \left[\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]-{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')$。 由于电流是稳定的，$\nabla ^{'}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')=0$，所以， ${\begin{aligned}(\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ))_{x}&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\nabla '\cdot \left(\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right)\\&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\\\end{aligned}}$； 其中，$\mathrm {d} \mathbf {a} '$是一个微小源面积元素，$\mathbb {S} '$是体积$\mathbb {V} '$外表的闭曲面。 这个公式右边第二项目是一个闭曲面积分，只与体积内所包含的被积函数，或体积外表曲面的电流密度有关。而体积可大可小，我们可以增大这体积，一直增大到外表的闭曲面没有任何净电流流出或流入，也就是说，电流密度等于零。这样，就可以得到安培定律。 $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$。

参阅

• 狭义相对论
• 向量分析
• 散度定理
• 安培律

参考文献

• 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律. 台湾: 天下文化书. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)