赋值环
外观
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在抽象代数中,赋值环是一个域里的一类特别子环,可由域上的某个赋值定义。离散赋值环是其中较容易操作的一类。
定义
[编辑]赋值环是一个整环D,满足其分式域 F的任一非零元素x,至少有x 或 x −1 ∈ D. 一个域 F 的子环 R 被称作赋值环,当且仅当对每个 ,必有 或 。R被称作其分式域 F赋值环或被称作在其分式域 F的素点(位)
若 R 是主理想域,此时 R 被称为离散赋值环。
性质
[编辑]- 令,则 是 F 中唯一的极大理想。
- 承上, 被称作 R 的剩余域。
范例
[编辑]- 任何域都是赋值环。
- Z(p)是赋值环, ,整数环在素理想局部化,其中分子,分母是不能被p整除的任何整数组成,。分式域为有理数域Q
- 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数(泰勒级数展开为零)环是一个赋值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
- 任何一个给定的素数p p进整数环Zp 是局部环(p进数的分式域Qp域),p进整数环Zp 代数闭域Zpcl也是一个局部环, Zp 和 Zpcl都是赋值环。
设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的,如果它在于两个整数N <X <米;否则,它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D,被称为无限。 有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字,从一个标准的真正的不同,由一个无限小的量,这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场,有限的超现实数模无穷的超现实数字理想,是同构的实数。
- 令 X 为一黎曼曲面,x 为其上一点。令 ,则 构成一赋值环。
- 设 为域,则 是 中的赋值环。
- 为 中的赋值环。
- 设 为一有序交换群, 为域, 为一赋值,则 为一赋值环,此时被称作其值群。可以证明所有的赋值环都由此而来。
文献
[编辑]- Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
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