阻尼比

阻尼比（英语：Damping ratio）是工程上的无因次量，描述系统在受到扰动后振荡及衰减的情形。许多系统在受扰动，离开其静平衡位置时都会振荡，例如吊在弹簧的重物，若用力往上拉再放开，就会上上下下的摆动。在摆动过程中，系统试图回到平衡位置，不过会出现过冲。有时系统会有损耗（例如摩擦力）会形成系统的阻尼，会使系统的振荡渐渐变小，最后衰减。阻尼比是描述系统的振荡多快可以衰减。

系统的振荡行为出现在许多不同的领域中，例如控制工程、机械工程、结构工程及电机工程等。振荡的物理量可能有很大的不同，振荡的可能是在大风中的建筑物，也可能是马达的速度，但利用正规化、无因次化的分析可以描述这些现象中共通的特性。

振荡情形[编辑]

当弹簧质量系统完全没有损耗，质量会一直摆动，不会结束，每一次的摆动振幅都和之前一样，这种理想情形称为无阻尼。
若系统的损耗很大，例如弹簧质量系统放置在黏滞的液体中，系统会慢慢的回到初始位置，甚至不会过冲，这称为过阻尼。
一般而言，在摆动时会出现过冲，再往另一边摆动，再回来，在摆动过程中，系统消耗了一些能量，而摆动振幅也会越来越小，最后回到初始位置，这称为欠阻尼。
在过阻尼及欠阻尼二个条件之间，有一个特定的情形是系统不会过冲，会在最快时间回到初始位置，这称为临界阻尼。临界阻尼和过阻尼都不会过冲，而临界阻尼是最快回到初始位置的那一个阻尼条件。

定义[编辑]

阻尼比常用ζ表示^[1]，是二阶微分方程步阶响应及频率响应的参数之一。在控制理论及谐振子中相当重要。

阻尼比表示系统的阻尼相对于临界阻尼的比值。若有阻尼的谐振子质量为m、阻尼系数为c、弹簧常数为k，阻尼比可定义为系统的阻尼系数相对于临界阻尼的比例：

\zeta ={\frac {c}{c_{c}}},

\zeta ={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},

若系统的运动方程为

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0

其临界阻尼系数为

c_{c}=2{\sqrt {km}}

或

c_{c}=2m\omega _{n}

阻尼比是二个相同单位系数的比值，因此为无因次量。

衍生[编辑]

利用简谐运动的自然频率 $\omega _{n}={\sqrt {k/m}}$ 及以上的阻尼比定义，可以将二阶微分方程式改写如下：

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.

上述方程式可以用以下的方式求解

x(t)=Ce^{st},\,

其中C和s都是复数的常数。此解法假设解是振荡且/或指数递减，将此放入微分方程中，可以得到振荡频率的条件：

s=-\omega _{n}(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}).

无阻尼： $\zeta \to 0$ 对应没有阻尼的简谐运动，其解为 $\exp(i\omega _{n}t)$ 。
欠阻尼：若s为复数，解为指数递减且振荡的函数，振荡部分可用 $\exp(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t)$ 表示。此时 $\zeta <1$ ，称为欠阻尼。
过阻尼：若s为实数，则解为没有振荡的指数递减，此时 $\zeta >1$ ，称为过阻尼。
临界阻尼：当 $\zeta =1$ ，介于过阻尼及欠阻尼之间，称为临界阻尼，这是许多工程应用想要的结果，也会希望阻尼振荡器可以设计在这一点。

品质因子及衰减速率[编辑]

品质因子Q、阻尼比ζ及指数衰减率α有以下的关系^[2]

\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha  \over \omega _{0}}.

若二阶系系统的 $\zeta <1$ （欠阻尼系统），系统有二个共轭零点，其实部为 $\alpha$ ，因此其指数衰减率参数 $\alpha$ 表示振荡后指数衰减的速度。低阻尼比表示其衰减速度慢，因此许多欠阻尼的系统可以振荡较长的时间^[3]。像高品质的音叉其阻尼比很小，因此敲击后振荡可以持续很长的时间，衰减的速度很慢。

对数衰减[编辑]

阻尼比也和欠阻尼系统中的对数衰减（英语：logarithmic decrement） $\delta$ 有关

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {(2\pi )^{2}+\delta ^{2}}}}\qquad {\text{where}}\qquad \delta \triangleq \ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}}.

上述关系只在欠阻尼的系统下有效，因为对数衰减定义为二个相邻振幅比例的自然对数，而只有欠阻尼系统有振荡，才有对应的振幅。

参考资料[编辑]

^ Alciatore, David G. Introduction to Mechatronics and Measurement Systems 3rd. McGraw Hill. 2007. ISBN 978-0-07-296305-2.
^ William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.
^ Ming Rao and Haiming Qiu. Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. CRC Press. 1993: 96. ISBN 978-2-88124-628-9.

[1] Alciatore, David G. Introduction to Mechatronics and Measurement Systems 3rd. McGraw Hill. 2007. ISBN 978-0-07-296305-2.

[Siebert-2] William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.

[3] Ming Rao and Haiming Qiu. Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. CRC Press. 1993: 96. ISBN 978-2-88124-628-9.

[1]

[2]

[3]