双曲群

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数学几何群论上,双曲群是指一种带有度量,符合双曲几何的某些性质。双曲群是米哈伊尔·格罗莫夫于1980年代初所创的概念。

定义[编辑]

上的一个度量称为左不变度量,如果群中任何两个元素,被另外任一个元素左乘后,其间的距离仍保持不变。如果一个有一个左不变度量,使得这个群按度量空间而言,是一个格罗莫夫双曲空间,就称之为双曲群

双曲群中以字双曲群最为常见。提到双曲群时,通常就是指字双曲群。一个有限生成群称为字双曲群(word hyperbolic group),如果群中有由某有限生成集赋予的字度量,令其成为格罗莫夫双曲空间。换言之,取群中一个有限生成集合,将对应的凯莱图每条边长都定为1,那么这个凯莱图格罗莫夫双曲空间。只要有对应某个有限生成集合的字度量有此性质,那么对应任何有限生成集合的字度量,都会有相同性质。这是因为对应各个有限生成集合的字度量,都是拟等距同构的,而格罗莫夫双曲性,在拟等距映射下不变。

例子[编辑]

  • 有限群
  • 逼肖循环(virtually cyclic)群
  • 有限生成自由群,更一般的凡是作用在局部有限上并有有限稳定子群的群。
  • 曲面群差不多都是双曲群,确切而言任何欧拉特征为负的闭曲面,基本群都是双曲群。
  • 三角形群\triangle(l,m,n)差不多都是双曲群,确切而言凡是1/l + 1/m + 1/n < 1的三角形群都是双曲群,例如(2,3,7)三角形群
  • 有严格负曲率的紧致黎曼流形的基本群
  • 余紧致及真不连续地作用在正态(proper)CAT(k)空间上且k < 0的群是双曲群。这一类群包含所有上述例子,且给出与流形或树无关的双曲群。


参考[编辑]

  • Mikhail Gromov: Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.