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三角函數

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三角函數: 正弦餘弦正切餘割(鏈線)正割(鏈線)餘切(鏈線)

三角函數數學中常見的一類關於角度函數。三角函數將直角三角形的內角和它的兩個邊的比值相關聯,也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用,也是研究周期性現象的基礎數學工具[1]。在數學分析中,三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們的取值擴展到任意實數值,甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數)、餘弦函數)和正切函數或者[1]。在航海學測繪學、工程學等其他學科中,還會用到如餘切函數正割函數餘割函數正矢函數半正矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恆等式

三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度,在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外,以三角函數為模版,可以定義一類相似的函數,叫做雙曲函數[2]。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。

歷史[編輯]

早期對於三角函數的研究可以追溯到古代。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法,將圓周分為360等份(即圓周的弧度為360度,與現代的弧度制不同)。對於給定的弧度,他給出了對應的弦的長度數值,這個記法和現代的正弦函數是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰,托勒密在《數學彙編》(Syntaxis Mathematica)中計算了36度角和72度角的正弦值,還給出了計算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值[3]:133-140[4]:151-152

古希臘文化傳播到古印度後,古印度人對三角術進行了進一步的研究。公元5世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦,這個做法被後來的古印度數學家使用,和現代的正弦定義一致了[4]:189。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位,重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度(3.75°)的三角函數值表[4]:193。然而古印度的數學與當時的中國一樣,停留在計算方面,缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義,但他們的三角學是直接繼承於古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切和餘切、正割和餘割的概念,並計算了間隔10分(10′)的正弦和正切數值表[3]:214-215。到了公元14世紀,阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化(古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式)的努力為後來三角學從天文學中獨立出來,成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。[3]:225

進入15世紀後,阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業的興盛,航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時,歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函數值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯英語Goerg Joachim Rheticus製作了間隔10秒(10″)的正弦表,有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義,原來稱弧對應的弦長是正弦,瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後,數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。[3]:275-278

18世紀開始,隨著解析幾何等分析學工具的引進,數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函數的無窮級數表示。Collins將牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高里,後者進一步給出了正切等三角函數的無窮級數。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結果[5]:162-163歐拉的《無窮小量分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum,1748年)對建立三角函數的分析處理做了最主要的貢獻,他定義三角函數為無窮級數,並表述了歐拉公式,還有使用接近現代的簡寫sin.cos.tang.cot.sec.cosec.

幾何定義 加[編輯]

直角三角形中的定義[編輯]

a, b, h分別為角A的對邊、鄰邊和斜邊

直角三角形中僅有銳角(大小在0到90度之間的角)三角函數的定義[6] 。給定一個銳角 ,可以做出一個直角三角形,使得其中的一個內角是 。設這個三角形中, 的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是 ,那麼

正弦是對邊與斜邊的比值:
餘弦是鄰邊與斜邊的比值:
正切是對邊與鄰邊的比值:
餘切是鄰邊與對邊的比值:
正割是斜邊與鄰邊的比值:
餘割是斜邊與對邊的比值:

直角坐標系中的定義[編輯]

Trig functions on descartes.png

P( x, y )是平面直角坐標系xOy中的一個點,θ是橫軸正向逆時針旋轉到方向所形成的角,P到原點O的距離,則θ的六個三角函數定義為[7]

正弦: 正切: 正割:
餘弦: 餘切: 餘割:

這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當 的時候,都沒有意義,這說明對於90度角和270度角,正切和正割沒有定義。同樣地,對於0度角和180度角,餘切和餘割沒有定義。

單位圓定義[編輯]

三角函數也可以依據直角坐標系xOy中半徑為1,圓心為原點O單位圓來定義[1]。給定一個角度θ,設A(1, 0)為起始點,如果θ > 0則將OA逆時針轉動,如果θ < 0則順時針移動,直到轉過的角度等於θ為止。設最終點A轉到的位置為P (x, y),那麼:

  • 正弦:sin θ y
  • 餘弦:cos θ x
  • 正切:tan θ y/x
  • 餘切:cot θ x/y
  • 正割:sec θ 1/x
  • 餘割:csc θ 1/y
用單位圓定義三角函數

這個定義和坐標系的定義類似,但角度θ可以是任何的數值。對於大於360°或小於-360°的角度,可以認為是逆時針(順時針)旋轉了不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值[8]。如果按弧度制的方式記錄角度,將弧長作為三角函數的輸入值(360°等於2π),那麼三角函數就是取值為全體實數,周期為2π周期函數。比如:

周期函數的最小正周期叫做這個函數的基本周期。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是2π弧度或360°;正切或餘切的基本周期是π弧度或180°。

基本性質[編輯]

在直角坐標系平面上f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)函數的圖像。

從幾何定義中可以推導出很多三角函數的性質。比如說,正弦函數、正切函數、餘切函數和餘割函數是奇函數,餘弦函數和正割函數是偶函數[9]。正弦和餘弦函數的圖像形狀一樣(見右圖),可以看作是沿坐標橫軸平移得到的兩個函數。正弦和餘弦函數關於軸對稱。正切函數和餘切函數、正割函數和餘割函數也分別如此。

三角恆等式[編輯]

不同的三角函數之間存在很多對任意的角度取值都成立的等式,被稱為三角恆等式。其中最著名的是畢達哥拉斯恆等式,它說明對於任何角,正弦的平方加上餘弦的平方總是1[1]。這可從斜邊為1的直角三角形應用勾股定理得出。用符號形式表示,畢達哥拉斯恆等式為:

因此可推導出:

另一個關鍵的聯繫是和差公式,它根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦[1]。它們可以用幾何的方法使用托勒密的論證方法推導出來;還可以用代數方法使用歐拉公式得出。

當兩個角相同的時候,和角公式簡化為更簡單的等式,稱為二倍角公式(或倍角公式)。

這些等式還可以用來推導積化和差恆等式[10],以前曾用它把兩個數的積變換成兩個數的和而像對數那樣使運算更加快速。(利用制好的三角函數表)

微積分[編輯]

三角函數的積分導數可參見導數表積分表三角函數積分表。下面是六個基本三角函數的導數和積分的列表。

函數
導數
原函數*
* 不計常數項

分析學定義[編輯]

級數定義[編輯]

正弦函數(藍色)十分接近於它的7次泰勒級數(粉紅色)。

幾何學中,三角函數的定義是建立在幾何直觀上的,只用幾何和極限的性質,就可直接獲知正弦和餘弦的導數分析學中,三角函數是解析函數,數學家用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義[11]

可以證明以上的無窮級數對任意實數x都是收斂的,所以很好地定義了正弦和餘弦函數。

三角函數的級數定義經常被用做三角函數的嚴格處理和應用的起點(比如,在傅立葉級數中),因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發展而來,不需要任何幾何方面的考慮。這樣,這些函數的可微性連續性便可以單獨從級數定義來確立。

其他三角函數的級數定義:[12]

其中伯努利數歐拉數

這些定義也可以看作是每個三角函數作為實函數的泰勒級數。從複分析的一個定理得出,這個實函數到複數有一個唯一的解析擴展。它們有同樣的泰勒級數,所以複數上的三角函數是使用上述級數來定義的。

與指數函數和複數的聯繫[編輯]

可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函數分別是復指數函數在它的自變量為純虛數時候的虛數和實數部分:

i虛數單位

這個關係式首先被歐拉注意到,因此叫做歐拉公式[13] 。從中可推出,對實數x

進一步還可以定義對復自變量z的三角函數:

複平面中的三角函數
Complex sin.jpg
Complex cos.jpg
Complex tan.jpg
Complex Cot.jpg
Complex Sec.jpg
Complex Csc.jpg

較少見的三角函數[編輯]

Versine.svg

除了上述六個基本函數,歷史上還有下列幾個較少見的三角函數:

正矢 versin θ = 1 − cos θ 半正矢 haversin θ = 1 − cos θ/2
vercosin θ = 1 + cos θ havercosin θ = 1 + cos θ/2
餘矢 coversin θ = 1 − sin θ 半餘矢 hacoversin θ = 1 − sin θ/2
covercosin θ = 1 + sin θ hacovercosin θ = 1 + sin θ/2
外正割 exsec θ = sec θ − 1 外餘割 excsc θ = csc θ − 1

微分方程定義[編輯]

正弦和餘弦函數都滿足微分方程

就是說,它們加上自己的二階導數都等於0函數。在由所有這個方程的解的二維向量空間V中,正弦函數是滿足初始條件y(0) = 0和y′(0) = 1的唯一解,而餘弦函數是滿足初始條件y(0) = 1和y′(0) = 0的唯一解[14]。因為正弦和餘弦函數是線性無關的,它們在一起形成了V。這種定義正弦和餘弦函數的方法本質上等價於使用歐拉公式。(參見線性微分方程)。很明顯這個微分方程不只用來定義正弦和餘弦函數,還可用來證明正弦和餘弦函數的三角恆等式。進一步的,觀察到正弦和餘弦函數滿足,這意味著它們是二階導數算子的特徵函數

正切函數是非線性微分方程

滿足初始條件y(0) = 0的唯一解。有一個非常有趣的形象證明,證明了正切函數滿足這個微分方程;參見Needham的《Visual Complex Analysis》。[15]

弧度的重要性[編輯]

弧度通過測量沿著單位圓的路徑的長度而指定一個角,並構成正弦和餘弦函數的特定輻角。特別是,只有映射弧度到比率的那些正弦和餘弦函數才滿足描述它們的經典微分方程。如果正弦和餘弦函數的弧度輻角是正比於頻率的

則導數將正比於「振幅」。

.

這裡的k是表示在單位之間映射的常數。如果x是度,則

這意味著使用度的正弦的二階導數不滿足微分方程

,

但滿足

;

對餘弦也是類似的。

這意味著這些正弦和餘弦是不同的函數,因此只有它的輻角是弧度的條件下,正弦的四階導數才再次是正弦。

利用函數方程定義三角函數[編輯]

數學分析中,可以利用基於和差公式這樣的性質的函數方程來定義三角函數。例如,取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式,可以證明只有兩個實函數滿足這些條件。即存在唯一的一對實函數sincos使得對於所有實數xy,下列方程成立[16]

並滿足附加條件

.

從其他函數方程開始的推導也是可能的,這種推導可以擴展到複數。作為例子,這個推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學

計算[編輯]

三角函數的計算是個複雜的主題,由於計算機和提供對任何角度的內置三角函數的科學計算器的廣泛使用,現在大多數人都不需要了。本節中將描述它在三個重要背景下的計算詳情:歷史上三角函數表的使用,計算機使用的現代技術,以及容易找到簡單精確值的一些「重要」角度。(下面只考慮一個角度小範圍,比如0到π/2,因為通過三角函數的周期性和對稱性,所有其他角度可以化簡到這個範圍內。)

有計算機之前,人們通常通過對計算到多個有效數字的三角函數表的內插來計算三角函數的值。這種表格在人們剛剛產生三角函數的概念的時候就已經有了,它們通常是通過從已知值(比如sin(π/2)=1)開始並重複應用半角和和差公式而生成[17]

現代計算機使用了各種技術。[18]一個常見的方式,特別是在有浮點單元的高端處理器上,是組合多項式有理式逼近(比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近,和典型用於更高或可變精度的泰勒級數羅朗級數)和範圍簡約與表查找—首先在一個較小的表中查找最接近的角度,然後使用多項式來計算修正。[19]在缺乏硬體乘法器的簡單設備上,有叫做CORDIC算法的一個更有效算法(和相關技術),因為它只用了移位和加法。出於性能的原因,所有這些方法通常都用硬體來實現。

對於非常高精度的運算,在級數展開收斂變得太慢的時候,可以用算術幾何平均來逼近三角函數,它自身通過複數橢圓積分來逼近三角函數。[20]

三角函數的特殊值[編輯]

對於一些簡單的角度,使用畢達哥拉斯定理(也就是勾股定理)可以很容易手工計算三角函數的值。事實上, 弧度(3°)的任何整數倍的正弦、餘弦和正切都可以手工計算。以下是一些常用的特殊函數值[21]

函數名
sin
cos
tan
cot
sec
csc

註:有時候會被寫作無定義。

反三角函數[編輯]

由於三角函數屬於周期函數,而不是單射函數,所以嚴格來說並沒有反函數。因此要定義其反函數必須先限制三角函數的定義域,使得三角函數成為雙射函數。基本的反三角函數定義為[9]

反三角函數 定義 值域

對於反三角函數,符號sin−1和cos−1經常用於arcsin和arccos。使用這種符號的時候,反函數可能跟三角函數的倒數混淆。使用「arc-」前綴的符號避免了這種混淆,儘管「arcsec」可能偶爾跟「arcsecond」混淆。

正如正弦和餘弦那樣,反三角函數也可以根據無窮級數來定義。例如,

這些函數也可以通過證明它們是其他函數的原函數來定義。例如反正弦函數,可以寫為如下積分[22]

可以在反三角函數條目中找到類似的公式。使用復對數,可以把這些函數推廣到複數輻角上:

相關定理[編輯]

三角函數,正如其名稱那樣,在三角學中是十分重要的。在三角學研究中,數學家們發現了許多利用三角函數來刻畫三角形、圓形或多邊形的定理。

正弦定理[編輯]

利薩茹曲線,一種三角基的函數形成的圖像。

正弦定理聲稱對於邊長為a, bc而相應角為A, BC的三角形,有[23]

其中是三角形的外接圓半徑。正弦定理用於在一個三角形的兩個角和一個邊已知時計算未知邊的長度。這是三角測量中常見情況。

餘弦定理[編輯]

餘弦定理(也叫做餘弦公式)是托勒密定理的推廣[23]

也可表示為:

餘弦定理用於在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數據。

正切定理[編輯]

還有一個正切定理[24]:

餘切定理[編輯]

正割定理[編輯]

周期函數[編輯]

諧波數目遞增的方波的加法合成的動畫。

三角函數在物理中也是重要的。例如,正弦和餘弦函數被用來描述簡諧運動,它描述了很多自然現象,比如附著在彈簧上的物體的振動,掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和餘弦函數是圓周運動的一維投影[25]

三角函數在一般周期函數的研究中也很有用。這些函數有作為圖像的特徵波模式,在描述循環現象比如聲波或光波的時候是很有用的。每一個信號都可以記為不同頻率的正弦和餘弦函數的(通常是無限的)和[26];這是傅立葉分析的基礎想法,這裡的三角級數可以用來解微分方程的各種邊值問題。例如,方波可以寫為傅立葉級數[27]

在右邊的動畫中,可以看到只用少數的項就已經形成了非常準確的估計。

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 蕭樹鐵, 扈志明. 微積分. 北京: 清華大學出版社有限公司. 2006: p.8–9. ISBN 7302122148.  }
  2. ^ 清華大學數學科學系《微積分》編寫組. 微積分(I). 清華大學出版社. 2003. ISBN 9787302067856. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 莫里斯·克萊因 著,張理京,張錦炎,江澤涵 譯. 《古今數學思想》第一冊. 上海科學技術出版社. 2002. ISBN 9787532361724. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Uta C.Merzbach, Carl B. Boyer. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.第3版. 2011. ISBN 978-0-470-52548-7 (英文). 
  5. ^ 莫里斯·克萊因 著,朱學賢,申又棖,葉其孝 譯. 《古今數學思想》第二冊. 上海科學技術出版社. 2002. ISBN 9787532361731. 
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  10. ^ 初三年級. 積化和差公式. Zhongxue.hujiang.com. [2013-12-21]. 
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  14. ^ 以微積分方法探討三角函數的性質 (PDF). [2013-12-21]. 
  15. ^ Needham, p. ix.
  16. ^ Kannappan, Palaniappan. Functional Equations and Inequalities with Applications. Springer. 2009. ISBN 978-0387894911. 
  17. ^ 和差角公式. Highscope.ch.ntu.edu.tw. 2011-10-19 [2013-12-21]. 
  18. ^ Kantabutra.
  19. ^ However, doing that while maintaining precision is nontrivial, and methods like Gal's accurate tables, Cody and Waite reduction, and Payne and Hanek reduction algorithms can be used.
  20. ^ R. P. Brent, "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", J. ACM '''23''', 242 (1976). Doi.acm.org. [2013-12-21]. doi:10.1145/321941.321944. 
  21. ^ 三角函數特殊角的值. Web.ntnu.edu.tw. [2013-12-21]. 
  22. ^ 雙曲函數及反三角函數. Stat.nuk.edu.tw. [2013-12-21]. 
  23. ^ 23.0 23.1 正弦定理與餘弦定理 (PDF). [2013-12-21]. 
  24. ^ Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
  25. ^ 圓與三角學. Episte.math.ntu.edu.tw. 2004-06-19 [2013-12-21]. 
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  27. ^ 鄧翔宇. 信號與系統. 清華大學出版社. 2006. ISBN 9787810827058.  |chapter=被忽略 (幫助)

參考文獻[編輯]

  • Abramowitz, Milton、Irene A. Stegun,《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables》,Dover,New York(1964年),ISBN 978-0-486-61272-0
  • Boyer, Carl B.,《A History of Mathematics》,John Wiley & Sons, Inc.,第二版(1991年),ISBN 978-0-471-54397-8
  • Joseph, George G.,《The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics》,第二版,Penguin Books,London,(2000年),ISBN 978-0-691-00659-8
  • Kantabutra, Vitit,《On hardware for computing exponential and trigonometric functions》,IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339(1996年)。
  • Maor, Eli,《Trigonometric Delights》,Princeton Univ. Press.(1998年),重印版(2005年2月25日):ISBN 978-0-691-09541-7
  • Needham, Tristan,《Preface》Visual Complex Analysis,Oxford University Press,(1999年),ISBN 978-0-19-853446-4
  • O'Connor, J.J.、E.F. Robertson,《Trigonometric functions》MacTutor History of Mathematics Archive,(1996年)。
  • O'Connor, J.J.、E.F. Robertson,《Madhava of Sangamagramma》MacTutor History of Mathematics Archive,(2000年)。
  • Pearce, Ian G.,《Madhava of Sangamagramma》MacTutor History of Mathematics Archive,(2002年)。
  • Weisstein, Eric W.,《Tangent》MathWorld,2006年1月21日訪問。
  • Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

外部連結[編輯]