伽瑪分布

Gamma

機率密度函數
累積分布函數
參數	$k>0\,$ shape (real) $\theta >0\,$ scale (real)
支撐集	$x\in (0;\infty )\!$
機率密度函數	$x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!$
累積分布函數	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!$
期望值	$k\theta \,\!$
中位數	no simple closed form
眾數	$(k-1)\theta \,\!$ for $k\geq 1\,\!$
變異數	$k\theta ^{2}\,\!$
偏度	${\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!$
峰度	${\frac {6}{k}}\,\!$
訊息熵	$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!$ $+(1-k)\psi (k)\!$
動差生成函數	$(1-\theta \,t)^{-k}\,\!$ for $t<1/\theta \,\!$
特性函數	$(1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!$

伽瑪分布(Gamma distribution)是統計學的一種連續機率函數。伽瑪分布中的母數α，稱為形狀母數，β稱為比例母數。

實驗定義與觀念

假設X₁, X₂, ... X_n 為連續發生事件的等候時間，且這n次等候時間為獨立的，那麼這n次等候時間之和Y (Y=X₁+X₂+...+X_n)服從伽瑪分布，即 Y~Gamma(α , β)，其中α = n, β = λ。這裡的 λ 是連續發生事件的平均發生頻率。 指數分布是伽瑪分布α = 1的特殊情況。

機率密度函數

令$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$，且令$\lambda =\beta$ （即$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$），則：

$f\left(x\right)={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}\lambda ^{\alpha }e^{\left(-\lambda x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}$，x > 0

其中Gamma函數之特徵為：

${\begin{cases}\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {Z} ^{+}\\\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {R} ^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}$

動差生成函數、機率母函數、期望值、變異數

• Gamma分配的動差生成函數（m.g.f）

$M_{x}\left(t\right)=E\left(e^{xt}\right)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}\int _{0}^{\infty }e^{xt}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }$

• 機率母函數（p.g.f）

$K_{x}\left(t\right)=\ln M_{x}\left(t\right)=\alpha \left[\ln \lambda -\ln \left(\lambda -t\right)\right]$

• 期望值

${\frac {dK_{x}\left(t\right)}{dt}}={\frac {\alpha }{\lambda -t}},\quad when(t=0),E\left(X\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}$

• 變異數

${\frac {d^{2}K_{x}\left(t\right)}{dt^{2}}}={\frac {\alpha }{\left(\lambda -t\right)^{2}}},\quad when(t=0),\sigma ^{2}\left(X\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}$

Gamma的加成性

當兩隨機變數服從Gamma分配，互相獨立，且單位時間內頻率相同時，Gamma分布具有加成性。

$\coprod {\begin{cases}r.v.X\sim \Gamma \left(\alpha _{1},{\color {Red}\lambda }\right)\\r.v.Y\sim \Gamma \left(\alpha _{2},{\color {Red}\lambda }\right)\end{cases}}\Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left({\color {red}\alpha _{1}+\alpha _{2}},\lambda \right)$

外部連結

• LDA-math-神奇的Gamma函數頁面存檔備份，存於網際網路檔案館
• 分布計算器頁面存檔備份，存於網際網路檔案館（英文）