佐恩引理

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佐恩引理Zorn's Lemma)也被稱為庫拉托夫斯基-佐恩(Kuratowski-Zorn)引理,是集合論中一個重要的定理,其陳述為:

在任何一非空的偏序集中,若任何(即全序的子集)都有上界,則此偏序集內必然存在(至少一枚)極大元

佐恩引理是以數學家馬克斯·佐恩的名字命名的。

具體來說,假設是一個偏序集,它的一個子集稱為是一個全序子集,如果對於任意的。而稱為是有上界的,如果中存在一個元素,使得對於任意的,都有。在上述定義中,並不要求一定是中的元素。而一個元素稱為是極大的,如果,則必然有

佐恩引理、良序定理選擇公理彼此等價,在集合論的Zermelo-Fraenkel公理基礎上,上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位,例如在證明泛函分析哈恩-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem),證明任一向量空間必有拓撲學中證明緊空間乘積空間仍為緊空間吉洪諾夫定理,和抽象代數中證明任何含么環的真理想必然包含於一個極大理想和任何必然有代數閉包的過程中,佐恩引理都是關鍵。

應用舉例[編輯]

佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環必然有極大理想。用來表示的所有真理想(即的所有雙邊理想,且該理想是的真子集)。在中引入一個偏序,定義為集合的包含關係,那麼中必然有一個極大元素,並且這個元素是的真子集,從而有一個極大理想。

為了應用佐恩引理,需要證明的任何一個全序子集都有一個上界,即存在一個理想滿足並且中任何一個元素都大。現取中所有理想的。可以證明,是一個理想:如果中的兩個元素,那麼必然存在中兩個理想滿足。注意是一個全序集,所以必然有或者,從而有。無論是哪種情況,均有。而且,對於任何都可以證明。由此,的一個理想。

現在考慮證明的核心部分:利用充要於,可以證明一定是的真子集。因為如果,那麼必然有某個滿足,這意味著。但,從而,矛盾。

這樣,利用佐恩引理,必然包含一個極大元,而這個元素就是的一個極大理想。

注意這個結論只在單位環的時候成立,在不是單位環的情形下,一般而言這個結論是不成立的。

從選擇公理證明佐恩引理的思路[編輯]

假設佐恩引理不成立,那麼存在一個非空的偏序集,使得它的任何一個全序子集都有上界,但中任何元素都不是極大元素。然後,對於任何一個全序子集,可以定義一個相對應的元素,使其嚴格大於的任意元素,因為有一個上界,中又必然存在一個元素嚴格大於這個上界。為了確實地定義函數,我們需要用到選擇公理

利用函數,可以構造的一個全序子集,這裡作為下標指標集不僅可以是自然數,也可以是序數。事實上,所有序數組成一個真類,粗略地說,可以認為序數的數目大於任何集合的基數,也不例外。所以這個序列終會窮盡,這樣就導出了矛盾。

上述的序列可以利用超限歸納法構造:可以選擇為中任意元素,而對於任意一個序數,定義,注意是全序的,所以的定義是合理的。

事實上這個證明的結論略強於佐恩引理:

如果是一個偏序集,並且它的任何一個良序子集都有上界,那麼對於的任意元素而言,中有一個大於等於的極大元。換言之,存在一個可以與比較的極大元。

我們也可以直接應用選擇公理證明佐恩引理:

根據選擇公理,對於一個偏序集的所有非空子集在存在一個選擇函數使得。從本身開始:考慮,如果是極大元素則終止,否則構造,這裡,如果是極大元素則終止,否則用相同的技術構造

於是我們獲得了一個全序子集:

根據假設上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素則終止,否則繼續上述步驟,最終總能夠窮盡

不過需要說明的是上述證明並沒有闡明為何最終能夠窮盡,是一個不夠嚴格的證明。見於 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一書。(可用Bourbaki fixed point theorem)

歷史[編輯]

佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現,1935年佐恩亦獨立地發現此結論。

參見[編輯]

文獻[編輯]

  • Wolk E S. SOME FORMS OF ZORN's LEMMA[J]. Canadian Mathematical Bulletin, 1983, 26(3): 365.