六邊形

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正六邊形
Hexagon.svg
一個正六邊形
類型 正多邊形
6
頂點 6
對角線 9
施萊夫利符號 {6}
t{3}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDW 6.svgCDW dot.svg
CDW ring.svgCDW 3.svgCDW ring.svg
對稱群 二面體群 (D6), order 2×6
面積 6
4
a2cotπ
6

2.5980762113533a2
內角 120°
內角和 720°
對偶 正六邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

幾何學中,六邊形是指有六條邊和六個頂點的多邊形[1],其內角和為720度[2]。六邊形有很多種,其中對稱性最高的是正六邊形。正六邊形是一種可以使用尺規作圖的六邊形,也可以拚滿平面,因此自然界中可以找到許多六邊形的結構,如蜂巢[3]、玄武岩[4]的化學結構[5]。另外,正六邊形也可以構成一些高對稱性的多面體,如截角二十面體,巴克明斯特富勒烯就是這種形狀。

六邊形依照其類角的性質可以分成凸六邊形和非凸六邊形,其中凸六邊形代表所有內角角度皆小於180度。非凸六邊形可以在近一步分成凹六邊形和星形六邊形,其中星形六邊形表示邊自我相交的六邊形。

正六邊形[編輯]

正六邊形是每條邊等長、每個角相等的六邊形,在施萊夫利符號中可以用 {6} 來表示[6]。正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造,即切去正三角形的三個頂點,因此正六邊形在施萊夫利符號中亦可以寫為 t{3} 。但若截角深度太深或太淺都會產生一種具有兩個不同邊長的六邊形。

一個利用尺規作圖構造正六邊形的逐步動畫,這個方法由歐幾里得的幾何原本第四卷第15章給出[7]。六邊形之所以為可作圖多邊形是因為邊長6 2 × 3,是2個費馬數的乘積。
若已給定六邊形的其中一邊AB的邊長,就分別以A和B為圓心、半徑AB畫弧,其交點M就是這個正六邊形的外接圓圓心。畫出外接圓後依序將AB線段複製到到圓周上,則可以繪製出正六邊形

正六邊形是一個同時具有邊可遞和點可遞特性的六邊形,是一種雙心多邊形英語Bicentric polygon,這意味著它同時具有內切圓和外接圓。

正六邊形邊的長度與其外接圓半徑相等,且等於邊心距的倍,其中,邊心距與內切圓半徑相等。正六邊形的每個內角都是120度,且具有6次的旋轉對稱性(階數為6的旋轉對稱性)和6軸對稱性(有6個對稱軸的軸對稱性),組成了D6二面體群的對稱性。正六邊形最長的對角線是兩側頂點的對角線,其長度恰好為邊長的兩倍,因此若有一個三角形其中一個頂點位於六邊形幾何中心、其中一條邊與六邊形共用,則這個三角形是正三角形,且正六邊形可以分割成6個此三角形。

正六邊形可以獨立密鋪整個平面,就像正方形和正三角形一樣,正六邊形可以經過重複的排列和組合,形成沒有空隙或重疊的幾何圖形,這種圖行每個頂點都是3個六邊形的公共頂點,並形成一個很緊密的二維空間充填,也因此大部分的蜂窩都會將其的每個蜂房做成六邊形,使其能夠有效地利用空間和建材[3]。另外,正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖是正六邊形的鑲嵌。雖然具有等邊的特性,但並不常被當作等邊多邊形英語Equilateral polygon

參數[編輯]

Regular hexagon 1.svg
Sechseck-Zeichnung.svg

正六邊形可以單單用圓規直尺繪畫。因為當正六邊形內接於圓時,圓的半徑剛好等於正六邊形的邊長,正六邊形最長的對角線就等於圓的直徑。中國古代對圓周和直徑的關係有「周三徑一」之說,可以視為採用正六邊形為圓的近似圖形求得的結果。

正六邊形的內角和是720°,每個內角120°。

正六邊形是其中一種能夠密鋪平面的正多邊形,其餘兩種為等邊三角形和正方形

大衛星是正六邊形的對角線相交得出的形狀。

正六邊形尺規作圖[編輯]

下面是正六邊形的尺規作圖,共三步。
Regular Hexagon Inscribed in a Circle.gif

  1. 畫一條水平線,通過此線上的任意點做一個
  2. 以該圓與線的交點為圓心,分別畫出與該圓半徑相同的圓,與該圓交於4點。
  3. 依順序聯結這4個點和該圓與水平線的交點即成正六邊形。

面積[編輯]

正六邊形[編輯]

因為正六邊形由六個等邊三角形組成,所以:

正六邊形的面積=三角形面積×6=

這些等邊三角形的高是正六邊形內切圓的半徑,即

扭歪六邊形[編輯]

環己烷的化學結構是一個扭歪六邊形

扭歪六邊形,又稱不共面六邊形,是指頂點並非完全共面的六邊形

多面體上的扭歪六邊形
Cube petrie.png
立方體[8]
Octahedron petrie.png
正八面體

皮特里多邊形[編輯]

一些正扭歪六邊形來自於高為多胞體的皮特里多邊形。

4D 5D
3-3 duoprism ortho-Dih3.png
三角三角柱體柱英語3-3 duoprism
3-3 duopyramid ortho.png
三角三角錐體錐英語3-3 duopyramid
5-simplex t0.svg
正五胞體

多面體的截面[編輯]

部分多面體具有六邊形的截面,例如立方體[9][11]正八面體[12]和正十二面體[13]。在立方體中,六邊形的截面穿過對邊的中點[8][14][12]

Hexagon in cube.svg Hexagon in octahedron.svg Hexagon in dodecahedron.svg

自然中的六邊形[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ MathWorldHexagon的資料,作者:埃里克·韋斯坦因
  2. ^ Polygons - Hexagons. coolmath.com. 
  3. ^ 3.0 3.1 蜂窩--自然界最經濟有效的建築. 昌爸工作坊. 
  4. ^ 楊嵐雅. 澎湖玄武岩. 國立台灣大學. 
  5. ^ Rocke, A. J. It Began with a Daydream: The 150th Anniversary of the Kekulé Benzene Structure. Angew. Chem. Int. Ed. 2015, 54: 46–50. doi:10.1002/anie.201408034. 
  6. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974, ISBN 9780521098595 .
  7. ^ 歐幾里得 《幾何原本》第四卷 第15章 BC 300
  8. ^ 8.0 8.1 ,Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. p. 170 ISBN 978-0486409146
  9. ^ Gardner, M. "Mathematical Games: More About the Shapes that Can Be Made with Complex Dominoes." Sci. Amer. 203, 186-198, Nov. 1960.
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991. ISBN 978-0486268514
  11. ^ Holden 1991[10], p.23
  12. ^ 12.0 12.1 Holden 1991[10], p.22-23
  13. ^ Holden 1991[10], p.26-27
  14. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Hexagonal Section of a Cube." §3.15.1 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 157, 1989. ISBN 978-0906212202