雙曲函數

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射線出原點交單位雙曲線於點,這裡的是射線、雙曲線和軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。

數學中,雙曲函數是一類與常見的三角函數(也叫圓函數)類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數 雙曲餘弦函數 ,從它們可以導出雙曲正切函數 等,其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數

雙曲函數的定義域是實數,其自變量的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中,譬如說定義懸鏈線拉普拉斯方程

基本定義[編輯]

sinh, coshtanh
csch, sechcoth

函數是關於y軸對稱的偶函數。函數奇函數

如同當遍歷實數集時,點(, )的軌跡是一個一樣,當遍歷實數集時,點(, )的軌跡是單位雙曲線的右半邊。這是因為有以下的恆等式:

參數t不是圓而是雙曲角,它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點(, )的直線之間的面積的兩倍。

歷史[編輯]

直角雙曲線(方程y = 1/x)下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。

18世紀約翰·海因里希·蘭伯特介入了雙曲函數[1],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[2]自然對數函數是在直角雙曲線下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角u,在漸進線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是,垂線是

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的 1/2。

虛數圓角定義[編輯]

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上,如果x是實數而i2 = −1,則

    

所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的,它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是,可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成,前者形成cosh函數,後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出,通過把它變為交錯級數,而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i,從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)n,來恢復為指數函數的那兩部份級數。

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為:

這些複數形式的定義得出自歐拉公式

與三角函數的類比[編輯]

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[3]威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線

雙曲函數 三角函數

給定相同的角α,在雙曲線上計算雙曲角的量值(雙曲扇形面積除以半徑)得到雙曲函數,角α得到三角函數。在單位圓單位雙曲線上,雙曲函數與三角函數有如下的關係:

恆等式[編輯]

與雙曲函數有關的恆等式如下:

  • 加法公式:
  • 二倍角公式:
  • 半角公式:

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係,雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,並將含有有兩個sinh的積的項(包括)轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[4]。如

  • 三倍角公式:
三角函數的三倍角公式為:
而對應的雙曲函數三倍角公式則是:
  • 差角公式:
三角函數的差角公式為:
而對應的雙曲函數的差角公式則是:

雙曲函數的導數[編輯]

雙曲函數的泰勒展開式[編輯]

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

羅朗級數
羅朗級數

其中

是第n項伯努利數
是第n項歐拉數

雙曲函數的積分[編輯]

與指數函數的關係[編輯]

從雙曲正弦和餘弦的定義,可以得出如下恆等式:

複數的雙曲函數[編輯]

因為指數函數可以定義為任何複數參數,也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數sinh z和cosh z全純函數

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出:

所以:

因此,雙曲函數是關於虛部有週期的,週期為 (對雙曲正切和餘切是).

反雙曲函數[編輯]

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為:

註釋與引用[編輯]

  1. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
  2. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
  3. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
  4. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

參見[編輯]

外部連結[編輯]