反三角函數

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數學中,反三角函數三角函數反函數

數學符號[編輯]

符號等常用於等。但是這種符號有時在之間易造成混淆。


在編程中,函數arcsin, arccos, arctan通常叫做asin, acos, atan。很多程式語言提供兩自變量atan2函數,它計算給定yxy/x的反正切,但是值域為

主值[編輯]

下表列出基本的反三角函數。

名稱 常用符號 定義 定義域 值域
反正弦
反餘弦
反正切
反餘切
反正割
反餘割

(注意:某些數學教科書的作者將arcsec的值域定為因為當tan的定義域落在此區間時,tan的值域≧0,如果arcsec的值域仍定為,將會造成tan(arcsec(x)) = ± x2 − 1,如果希望tan(arcsec(x)) = x2 − 1,那就必須將arcsec的值域定為,基於類似的理由arccsc的值域定為

如果允許是複數,則的值域只適用它的實部。

反三角函數之間的關係[編輯]

補角:

負數參數:

倒數參數:

如果有一段正弦表:

注意只要在使用了複數的平方根的時候,我們選擇正實部的平方根(或者正虛部,如果是負實數的平方根的話)。

半角公式,可得到:

三角函數與反三角函數的關係[編輯]

通過定義可知:

圖示
Trigonometric functions and inverse3.svg
Trigonometric functions and inverse.svg
Trigonometric functions and inverse2.svg
Trigonometric functions and inverse4.svg
Trigonometric functions and inverse6.svg
Trigonometric functions and inverse5.svg

一般解[編輯]

每個三角函數都周期於它的參數的實部上,在每個2π區間內通過它的所有值兩次。正弦和餘割的周期開始於2πk - π/2結束於2πk + π/2(這裡的k是一個整數),在2πk + π/2到2πk + 3π/2上倒過來。餘弦和正割的周期開始於2πk結束於2πk + π,在2πk + π到2πk + 2π上倒過來。正切的周期開始於2πk - π/2結束於2πk + π/2,接著(向前)在2πk + π/2到2πk + 3π/2上重複。餘切的周期開始於2πk結束於2πk + π,接著(向前)在2πk + π到2πk + 2π上重複。

這個周期性反應在一般反函數上:

反三角函數的導數[編輯]

對於實數的反三角函數的導函數如下:

舉例說明,設,得到:

因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,其他導數公式同理可證[1]

表達為定積分[編輯]

積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函數作為定積分的表達式:

x等於1時,在有極限的域上的積分是瑕積分,但仍是良好定義的。

無窮級數[編輯]

如同正弦和餘弦函數,反三角函數可以使用無窮級數計算如下:

歐拉發現了反正切的更有效的級數:

(注意對x= 0在和中的項是空積1。)

反三角函數的不定積分[編輯]

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

舉例[編輯]

使用,設

換元

換元回x得到

加法公式和減法公式[編輯]

arcsin x + arcsin y[編輯]

arcsin x - arcsin y[編輯]

arccos x + arccos y[編輯]

arccos x - arccos y[編輯]

arctan x + arctan y[編輯]

arctan x - arctan y[編輯]

arccot x + arccot y[編輯]

arcsin x + arccos x[編輯]

arctan x + arccot x[編輯]

註釋與引用[編輯]

  1. ^ ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,得到:
    ,得到:
    ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,比較容易被忽略是產生的絕對值 的定義域是,其所產生的反函數皆為正,所以需要加上絕對值。
    ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,比較容易被忽略是產生的絕對值 的定義域是,其所產生的反函數皆為負,所以需要加上絕對值。

參見[編輯]

外部連結[編輯]