哈密頓向量場

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數學物理中,哈密頓向量場辛流形上一個向量場,定義在任何能量函數哈密頓函數上。以物理學家和數學家威廉·盧雲·哈密頓命名。哈密頓向量場是經典力學中的哈密頓方程的幾何表現形式,哈密頓向量場的積分曲線表示哈密頓形式的運動方程的解。由哈密頓向量場生成的辛流形微分同胚,在物理中稱為典範變換,在數學中稱為(哈密頓)辛同胚

哈密頓向量場可以更一般地定義在任何泊松流形上。對應於流形上的函數 fg 的兩個哈密頓向量場的李括號也是一個哈密頓向量場,其哈密頓函數由 gf泊松括號給出。

定義[編輯]

假設 (M,ω) 是一個辛流形。因為辛形式 ω 非退化,誘導了切叢 餘切叢 的一個線性同構

以及逆

從而,流形 M 上的1-形式可以與向量場等價起來,故任何可微函數 確定了惟一的向量場 XH = Ω(dH),稱為哈密頓函數 H哈密頓向量場。即對 M 上任何向量場 Y,等式

一定成立。

:一些作者定義哈密頓向量場為相反的符號;需注意物理與數學著作的不同習慣。

例子[編輯]

假設 M 是一個 2n 維辛流形。則由達布定理,我們在局部總可以取 M 的一個典範坐標 ,在這個坐標系下辛形式表示為

則關於哈密頓函數 H 的哈密頓向量場具有形式

這裡 Ω 是一個 2n × 2n 矩陣

假設 M = R2n 是 2n 維具有(整體)典範坐標的辛向量空間

  • 如果
  • 如果
  • 如果
  • 如果

性質[編輯]

  • 映射 線性的,所以兩個哈密頓函數之和變為相應的哈密頓向量場之和。
  • 假設 M 上的典範坐標。則曲線 是哈密頓向量場 XH積分曲線若且唯若它是哈密頓方程的一個解:
  • 哈密頓函數 H 在積分曲線上是常數,這就是 與時間 t 無關。這個性質對應於哈密頓力學中的能量守恆
  • 更一般地,如果兩個函數 FH泊松括號為零(見下),則 F 沿著 H 的積分曲線為常數;類似地 H 沿著 F 的積分曲線是常數。這個事實是諾特定理背後的數學原理。
  • 辛形式 在哈密頓流下不變;或等價地,李導數 這裡 內乘,用到了李導數的嘉當公式

泊松括號[編輯]

哈密頓向量場的概念導致了辛流形 M 上的可微函數的一個斜對稱雙線性算子,這就是泊松括號,由如下公式定義

這裡 表示沿著向量場 X李導數。此外,我們可以驗證有恆等式:

這裡右邊表示哈密頓函數 gg 對應的哈密頓向量場的李括號。事實上有:

作為一個推論,泊松括號滿足雅可比恆等式

這意味著 M 上可微函數組成的向量空間,賦予泊松括號,是 R 上的一個李代數,且映射 是一個李代數反同態,其由局部常值函數組成(如果 M 連通則為常數)。

參考文獻[編輯]