# 因數

## 定義

• 因數不限正負
• 1, -1, n 和 -n 這四個數叫做 n 的明顯因數

## 性質

### 個數

N的因數分解為${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}}$，則${\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)(a_{3}+1)\cdots (a_{n}+1)}$

### 和

N的質因數分解為${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}}$，則

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&=(1+p_{1}^{1}+p_{1}^{2}+p_{1}^{3}\cdots +p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}^{1}+p_{2}^{2}+p_{2}^{3}\cdots +p_{2}^{a_{2}})\cdots (1+p_{n}^{1}+p_{n}^{2}+p_{n}^{3}\cdots +p_{n}^{a_{n}})\\&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&=(1+2)(1+3+9+27)(1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}

## 其他

• 1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為${\displaystyle x=1x=-1\times (-x)}$

• 質數p只有2個正因數：1, p。p 的平方數只有三個正因數：1, p, p2

## 程式參考

C語言

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(void)
{
int n=0,i;
printf("請輸入一個正整數Ｎ:");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(n%i==0)printf("%d \n",i);
}
system("pause");
return 0;
}