圓內接四邊形

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
各種圓內接四邊形

幾何中,圓內接四邊形四邊形的一種。顧名思義,圓內接四邊形的四個頂點都在同一個上。換句話說,圓內接四邊形是由共圓的四點依次連成的多邊形

性質[編輯]

在一個圓內接四邊形中,相對的兩內角是互補的,它們度數之和為180[1]。與此等價的說法是,圓內接四邊形的一個內角等於其相對面的角的外角。相對的兩內角互補是圓內接四邊形的充分必要條件,即,圓內接四邊形相對的兩內角互補,且相對的兩內角互補的四邊形是圓內接四邊形(四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓)。

如圖,ABCD為圓內接四邊形,托勒密定理指出:

托勒密定理指出,圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等於兩條對角線的乘積(如右圖)。對於非退化的四邊形,如果兩組對邊乘積之和等於兩條對角線的乘積,那麼必定是圓內接四邊形[2]

凸四邊形的兩條對角線將自身分成四個三角形。如果這個四邊形是圓內接四邊形,那麼相對的兩個三角形是相似的。如右圖中,P是圓內接四邊形ABCD的兩對角線交點,則三角形ABP相似於三角形DCP,三角形BCP相似於三角形ADP。一個與此等價的說法是所謂的相交弦定理:設凸的圓內接四邊形的兩條對角線相交於一點(圖中的),那麼其中一條對角線被點所分成的兩段的長度之乘積等於另一條對角線被點所分成的兩段的長度之乘積:。相應的逆命題也成立:如果一個四邊形ABCD的兩條對角線交於點,且三角形ABP相似於三角形DCP(或三角形BCP相似於三角形ADP,或),那麼四邊形ABCD是圓內接四邊形。

在四邊形中,矩形正方形都是圓內接四邊形;箏形梯形可能是圓內接四邊形。如果一個四邊形既是平行四邊形又是圓內接四邊形,那麼它是一個矩形。如果一個四邊形既是梯形又是圓內接四邊形,那麼它是一個等腰梯形。如果一個箏形是圓內接四邊形,那麼它至少有一對對角是直角。

面積[編輯]

在已知四邊的邊長時,圓內接四邊形的面積可通過婆羅摩笈多公式給出[3]。若圓內接四邊形的四邊邊長分別是a, b, c, d,則其面積為:

其中半周長

可以證明,在所有周長為定值的圓內接四邊形中,面積最大的是正方形。

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 歐幾里得,《幾何原本》第三章,命題22
  2. ^ 樂嗣康,托勒密(Ptolemy) 定理與「三弦定理」的關係,《數學傳播》26卷1期
  3. ^ 蔡聰明,談求面積的 Pick 公式

外部連結[編輯]