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英語Circle),根據歐幾里得的《幾何原本》定義,是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合[1]。此外,圓的第二定義是:「平面內一動點到兩定點的距離的比,等於一個常數,則此動點的軌跡是圓。」[2]

歷史[編輯]

古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[3]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。[4]當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走。[5]

約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。[4]大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。 古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前中國的墨子(約公元前468-前376年)才給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等。[4]這個定義比希臘數學家歐幾里得(約公元前330-前275年)給圓下定義要早100年。

性質[編輯]

解析幾何[編輯]

圓心[編輯]

圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用O表示)。[6]

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圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的英語chord)。如圖2,AB分別為圓上任意兩點,那麼\overline{AB}就是圓的

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圓上任意兩間的部分叫做弧(英語arc),通常用符號\frown表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[6]

直徑、半徑[編輯]

  • 直徑:經過圓心的叫做直徑(用d表示)。[2]
  • 半徑(英語radius):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母r表示。
k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}

切線[編輯]

假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的叫做切點。如[2]如下圖,直線\overline{QP}與圓只有一個交點P,那麼\overline{QP}就是圓的切線。 過圓上一點的切線:設該點為P(x_o,y_o),圓的方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r,則該點和圓的切線方程為:(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2

  • 性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑。
  • 推論1:經過圓心且垂直於切線直線必經過切點。
  • 推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

割線[編輯]

一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語Secant Theorem)。[2]如圖,直線\overline{QO}與圓有兩個公共點,那麼直線\overline{QO}就是圓的割線。

θ 的正割是從 0Q的距離.

周長[編輯]

圓的一周的長度稱為圓的周長(記作C)。圓的周長與半徑的關係是:

C= \pi dC= 2 \pi r

其中\pi圓周率

面積[編輯]

圓的面積與半徑的關係是:S = \pi r^2

對稱性[編輯]

圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,圓的對稱軸為經過圓心O的任意直線,圓的對稱中心為圓心O[6]

圓心角、圓周角[編輯]

圖2:弦、圓周角、圓心角

圓心角:頂點在圓心的叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為\theta =(\frac{L}{2\pi r})\times 360^\circ=\frac{L}{r} [註 1][2]如右圖,M為圓的圓心,那麼\angle AMB為圓心角。
圓周角:頂點在圓周上,兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖,\angle ACB的頂點C在圓周上,\angle ACB的兩邊\overline{AC}\overline{BC}分別交在圓周上,那麼\angle ACB就是圓周角。

圓心角定理[編輯]

同圓或等圓中,相等的圓心角所對的相等,所對的相等,弦心距[註 2]相等,此定理也稱「一推三定理」。[6]

圓周角定理[編輯]

圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的的一半。[6]
如上圖,M為圓心,A,B,C分別為圓周上的,那麼:\angle AMB=2\; \angle ACB

證明:\because BM=CM,AM=CM
\because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM
\therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM
\because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM
\therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)
即:\angle AMB=2\; \angle ACB

圓周角定理的推論:

  1. 同弧或等所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周所對的弧是等弧。
  2. 半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
  3. 三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形

垂徑定理[編輯]

垂徑定理示意圖

垂徑定理:垂直於的直徑平分弦且平分弦所對的[1]如圖,直徑\overline{BE}\perp \overline{AC},那麼\overline{BE}平分\overline{AC}且平分\overset{\frown} {AC}

  • 推論1:(1)平分[註 3]的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條
(2)垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
(3)平分所對的一條的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條
  • 推論2:圓的兩條平行所夾的弧相等。

兩圓位置關係[編輯]

Two circles.png

兩個不同大小的圓(半徑分別為rR,圓心距為d,其中r < R)之間的關係如下:[2]

  1. d = 0:兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2. 0 < d < R - r:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3. d = R - r:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4. d = R + r:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5. R - r < d < R + r:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6. d > R + r:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圓系方程[編輯]

在解析幾何中,符合特定條件的某些圓構成一個圓系,一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。 [2]
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圓心(a,b)為定點,r為參變數,則它表示同心圓的圓系方程.若r是常量,a(或b)為參變數,則它表示半徑相同,圓心在同一直線上(平行於x軸或y軸)的圓系方程.

  • 過兩圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交點的圓系方程為:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0)(\curlywedge\ne -1)
  • 過直線Ax+By+C=0與圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1的交點為:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (Ax+By+C=0)
  • 過兩圓x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交點的直線方程為:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0

其他定義[編輯]

  • 橢圓平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡,橢圓的形狀可以用離心率來表示;圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點重合,離心率\varepsilon =0的情況。
  • 三維空間,球面被設定為是在R^3空間中與一個定點距離為r的所有的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。r=1是球的特例,稱為單位球。
  • 在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合

其它[編輯]

相關的立體圖形[編輯]

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀[編輯]

  • 當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大。[7]

圓的問題[編輯]

參考資料[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ L為扇形長,變形公式L=r\cdot \theta
  2. ^ 弦心距指的是圓心的距離
  3. ^ 不是直徑

資料[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 歐幾里得[原著]/燕曉東(譯). 幾何原本. 南京: 江蘇人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593. "圓是一個在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點就是圓心。" 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中數學必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107177057. 
  3. ^ 歷史. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107155598. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 圓的歷史. 
  5. ^ 古代人是如何搬運重物的?
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 數學. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  7. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  8. ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能嗎?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. 

參見[編輯]