地圖投影

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地圖投影,是指按照一定的數學法則將地球橢球面上的網轉換到平面上,使地面的地理坐標(\phi, \lambda)與平面直角坐標(x, y)建立起函數關係。這是繪製地圖數學基礎之一。由於地球是一個不可展的球體,使用物理方法將其展平會引起褶皺、拉伸和斷裂,因此要使用地圖投影實現由曲面向平面的轉化。投影的一般公式為 \begin{cases} x = f_{1}(\phi,\lambda) ,   \\ y = f_{2}(\phi,\lambda) , \end{cases}

投影變形[編輯]

經過投影變形後的世界地圖,注意南北極的形狀都已經拉長
可以用橢圓來說明地圖投影的變形

在使用投影時,可以在平面與球面之間建立相對應函數關係,但是經過投影后的平面並不能保持球面上的長度角度面積的原形。所以經過投影的地圖只能在長度、角度和面積之中的一項不變形,而其他幾種變形,只能是變形值相對較小。

通常引進一個橢圓來說明地圖投影的變形。在地面上取一個極小的微分面積可以忽略,因此可以看成一個平面),投影變形後將成為一個橢圓,這個橢圓稱作「變形橢圓」。利用這個橢圓,可以檢驗地圖投影的變形性質和大小。

  • 長度變形:可以使用長度比μ來表示。長度比是指地面上的微分線段經過投影后的長度與原有長度的比值。值得注意的是,這與比例尺並非一個概念。長度比是一個變量,它隨著在地圖上位置的變化而變化。
  • 面積變形:可以使用面積比Ρ來表示。面積比是指地面上的微分面積經過投影后的大小與原有大小的比值。面積比也是一個變量。
  • 角度變形:是指地面上的任意兩條線的夾角α與經過投影后的角α′的差。由於地面上的一點可以引出無窮條方向線,因此角度變形一般指最大角度變形。

衡量上述投影變形可由下列公式給出[1]

h = \frac{1}{R}\sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \phi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial \phi }}} \right)}^2}}

k = \frac{1}{{R\cos \phi }}\sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \lambda }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial \lambda }}} \right)}^2}}

\sin \theta ' = \frac{1}{{hk{R^2}\cos \phi }}\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial \phi }}\frac{{\partial x}}{{\partial \lambda }} - \frac{{\partial x}}{{\partial \phi }}\frac{{\partial y}}{{\partial \lambda }}} \right)

a' = \sqrt {{h^2} + {k^2} + 2hk\sin \theta '}

b' = \sqrt {{h^2} + {k^2} - 2hk\sin \theta '}

a = \frac{{a' + b'}}{2}

b = \frac{{a' - b'}}{2}

s = h k \sin \theta '

\omega = 2 \arcsin\left({b' / a'}\right)

其中,xy為投影平面上的坐標, \phi\lambda為緯度和經度, hk表示在給定位置沿著緯度線和經度線方向的變形, ab表示給定位置的最大變形和最小變形,用來表征長度變形, s用來表征面積變形, \omega用來表征角度變形。

上述公式需要通過微分計算,才能得到abs\omega, 用於衡量地圖投影的變形。

若不採用微分計算,則可以通過下述公式中的{\rho _{CP}}\left( i \right)[2], 近似地衡量角度變形\omega

{\rho _{CP}}\left( i \right)被稱作互補側面比率的均值(Averaged ratio between complementary profiles,AveRaComp)。 AveRaComp由兩部分構成, {\tilde\rho _{D3}}\left( i \right)表征了對角線的長度比, {\tilde\rho _{D3}}\left( i \right)表征了對角線之間的夾角。

計算AveRaComp時,首先在投影平面上均勻地劃分出N=n^2個網格, 然後,通過逆投影變換,將投影平面上第i個網格的四個角點,變換到球面(或橢球體)上,記球面(或橢球體)上的點為P_jj=1,\cdots,4。 網格i在投影平面上網格的中心點,經過逆投影變換得到的球面(或橢球體)上的點,記作P_*

\omega \approx {\tilde\rho _{CP}}\left( i \right) = \left[ {{\tilde\rho _{D3}}\left( i \right) + {\tilde\rho _\alpha }\left( i \right)} \right]/2

{\tilde\rho _{D3}}\left( i \right) = \frac
{{\max \left( {\left| {\overrightarrow {{P_1}{P_*}}} \right| + \left| {\overrightarrow {{P_*}{P_3}}} \right|,
\left| {\overrightarrow {{P_2}{P_*}}} \right| + \left| {\overrightarrow {{P_*}{P_4}}} \right|} \right)}}
{{\min \left( {\left| {\overrightarrow {{P_1}{P_*}}} \right| + \left| {\overrightarrow {{P_*}{P_3}}} \right|,
\left| {\overrightarrow {{P_2}{P_*}}} \right| + \left| {\overrightarrow {{P_*}{P_4}}} \right|} \right)}}

{\tilde\rho _\alpha }\left( i \right) = 
\cot \left( {\frac{1}{2}\arccos \left| {
\frac{\overrightarrow {{P_1}{P_3}}}{\left| \overrightarrow {{P_1}{P_3}} \right|}  \cdot 
\frac{\overrightarrow {{P_2}{P_4}}}{\left| \overrightarrow {{P_2}{P_4}} \right|} } \right|} \right)

其中,i為位於投影平面上的給定網格的編號,i=1,\cdots,NN為劃分網格的總數, \overrightarrow {{P_s}{P_t}}表示連接點P_s和點P_t的向量。

投影方法和分類[編輯]

投影方法分為幾何投影法數學解析法。幾何投影法是按照幾何原理繪製的投影變形,適用於比較簡單的投影,比如球心正軸方位投影;而數學解析法是利用笛卡爾提出的解析幾何理論繪製的投影變形,適用於比較複雜的投影,比如等角正軸方位投影

球心正軸方位投影的畫法示意圖

到目前為止,還沒有一個對地圖投影分類的統一標準。實際上,通常是按照構成方法或構成性質把地圖投影分類。

如果按照構成方法分類,可以分成幾何投影非幾何投影幾何投影源於幾何透視原理。以幾何特徵為依據,將地球上的經緯網投影到可以展開的平面(如圓錐圓柱等)上,可以構成方位投影圓柱投影麥卡托投影法)和圓錐投影亞爾勃斯投影)。非幾何投影不藉助輔助投影面,用數學解析法求出公式來確立地面與地圖上點的函數關係,有偽方位投影偽圓柱投影偽圓錐投影彭納投影)和多圓錐投影

按照構成性質分類,可以分為等角投影正形投影)、等積投影以及任意投影

目前主要的投影方式主要有方位角(Azimuthal)與方位投影(Azimuthal Equidistant)、正射切面投影(Orthographic)、球心切面投影(Gnomic)、球面透視切面投影(Stereographic)、心狀投影(Cordiform)、擬心狀投影(Pseudocordiform)、球狀投影(Globular)、梯形投影(Trapezoidal)以及橢圓形投影(Oval)。:

地圖投影的應用[編輯]

製圖的區域的位置、形狀和範圍,地圖的比例尺、內容、出版方式影響了投影的種類。比如在極地就應該是正軸方位投影中緯地區使用正軸圓錐投影

製作世界地圖時使用的彭納投影

製作地形圖通常使用高斯-克呂格投影,製作區域圖通常使用方位投影圓錐投影偽圓錐投影,製作世界地圖通常使用多圓錐投影圓柱投影偽圓柱投影。但通常而言,要依據實際情況具體選擇。

歷史[編輯]

早使用投影法繪製地圖的是西元前3世紀古希臘地理學家埃拉托斯特尼,在這之前地圖投影曾用來編制星圖。他在編制以地中海為中心的當時已知世界地圖,應了經緯線互相垂直的等距離圓柱投影。

1569年,佛蘭德地圖學家尼古拉斯·墨卡托首次採用正軸等角圓柱投影編制航海圖,使航海者可以不轉換羅盤方向,而採用直線導航。

喬凡尼·多美尼科·卡西尼設計用於三角測量的投影、蘭勃特提出的等角投影理論的蘭勃特投影和設計出的等角圓錐、等面積方位和等面積圓柱投影,使得十七、十八世紀的地圖投影具有時代的特點。

十九世紀,地圖投影主要保證大比例尺地圖的數學基礎,以適應軍事製圖發展和地形測量擴大的需要,出現德國高斯設計提出的橫軸等角橢圓柱投影的高斯投影,這種投影法經德國克呂格爾加以補充,成為高斯-克呂格爾投影。十九世紀末期,俄國一些學者對投影作了較深入地研究,對圓錐投影常數的確定提出了新見解,又提出了根據已知變形分布推求新投影和利用數值法求出投影坐標的新方法。

參考資料[編輯]

  1. ^ Snyder, J. P., 1987. Map projections: A working manual. Geological Survey Bulletin Series. U.S. Government Printing Office.
  2. ^ Yan, Jin; Song, Xiao; Gong, Guanghong. Averaged ratio between complementary profiles for evaluating shape distortions of map projections and spherical hierarchical tessellations. Computers & Geosciences. 2016, 87: 41–55. doi:10.1016/j.cageo.2015.11.009. 

外部連結[編輯]