基 (線性代數)

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R2中標準基的圖示。紅藍向量是這個基的元素。
線性代數

向量 · 向量空間  · 行列式  · 矩陣

線性代數中,(basis)(也稱為基底)是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集,基的元素稱為基向量。向量空間中任意一個元素,都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限,就稱向量空間為有限維向量空間,將元素的個數稱作向量空間的維數

使用基底可以便利地描述向量空間。比如說,考察從一個向量空間射出的線性變換,可以查看這個變換作用在向量空間的一組基上的效果。掌握了,就等於掌握了中任意元素的效果。

不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。如果承認選擇公理,那麼可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組,但同一個空間的兩組不同的基,它們的元素個數或勢(當元素個數是無限的時候)是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的;反之,如果向量空間擁有一組基,那麼在向量空間中取一組線性無關的向量,一定能將它擴充為一組基。在內積向量空間中,可以定義正交的概念。通過特別的方法,可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基

定義[編輯]

給定一個向量空間的一組是指裡面的可線性生成的一個線性無關子集。的元素稱為基向量

更詳細來說,設是在係數域(比如實數複數)上的向量空間的有限子集。如果滿足下列條件:

  1. 對任意,如果,則必然
  2. 對任意,可以選擇,使得

就說是向量空間的一組。第二個條件中,將一個向量表示成的形式,稱為向量在基底下的分解。稱為向量在基底下的分量表示。

有限基的向量空間叫做有限維的空間。要處理無限維的空間,必須把上述基的定義推廣為包括無限的基集合。如果向量空間的一個子集 (有限或無限)滿足:

  • 它的所有有限子集滿足上面的第一個條件(即線性無關);
  • 對任意,可以選擇,以及,使得

就稱是無限維空間的一組基。

沒有裝備拓撲結構向量空間的結構不足以談論向量的無限和,因此上述定義只包括對有限個向量求和。

性質[編輯]

是向量空間的子集。則是基,若且唯若滿足了下列任一條件:

  • 的極小生成集,就是說只有能生成,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
  • 中線性無關向量的極大集合,就是說中是線性無關集合,而且中沒有其他線性無關集合包含它作為真子集。
  • 中所有的向量都可以按唯一的方式表達為中向量的線性組合。如果基是有序的,則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的坐標。

如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物,那麼作為推論,可以證明任何的向量空間都擁有一組基。(證明:良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的(元素個數),叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理,它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理

例子[編輯]

  • 考慮所有坐標 (a, b)的向量空間R2,這裡的ab都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假設v = (a, b)是R2中的向量,則v = a (1,0) + b(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R2的一個基。
  • 更一般的說,給定自然數nn個線性無關的向量e1, e2, ..., en可以在實數域上生成Rn。因此,它們也是的一個基而Rn的維度是n。這個基叫做Rn標準基
  • V是由函數ete2t生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的,所有它們形成了V的基。
  • R[x]指示所有實數多項式的向量空間;則 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的維度因此等於aleph-0

基的擴張[編輯]

如上所述,一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合,同時也是極小的生成集合。可以證明,如果向量空間擁有一組基,那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基(也稱為基的擴充定理),每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地,在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說:如果是在向量空間中的一個線性無關集合而集合是一個包含而且能夠生成的集合,則存在的一組基,它包含了而且是的子集:

以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度,證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的,而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度(有限維),那麼這個集合的元素個數必須等於維數,才可能是它的基。在兩者相等時,只需要證明這個集合線性無關,或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基;而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數,需要添加的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理,能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集;但假如這個子集是真子集,那么元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數,也就是基的元素個數,這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

有序基和坐標[編輯]

基底是作為向量空間的子集定義的,其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論,通常會將基向量進行排列。比如說將:寫成有序向量組:。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中,都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用確定的數組表示,稱為向量的坐標。例如,在使用向量的坐標表示的時候習慣談論「第一個」或「第二個」坐標,這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下,有序基可以看作是向量空間的坐標架。

是在上的n維向量空間。在上確定一個有序基等價於確定一個從坐標空間的一個選定線性同構

證明:這個證明利用了的標準基是有序基的事實。

首先假設

是線性同構。可以定義的一組有序基如下:

其中的的標準基。

反過來說,給定一個有序基,考慮如下定義的映射

φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

這裡的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnenFn的一個元素。不難檢查出φ是線性同構。

這兩個構造明顯互逆。所以V的有序基一一對應於線性同構FnV

確定自有序基{vi}線性映射φ的逆映射為V裝備了坐標:如果對於向量vV, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn,則aj = aj(v)的分量是v的坐標,在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意義上。

從向量v到分量aj(v)的映射是從VF的線性映射,因為φ-1是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成V對偶空間的基,叫做對偶基

概念[編輯]

有時使用術語Hamel基(或代數基)來稱呼上文定義的基,這裡在線性組合a1v1 +… + anvn中項的數目總是有限的。

希爾伯特空間和其他巴拿赫空間中,需要處理無限多向量的線性組合。在無限維的希爾伯特空間中,相互正交的向量的集合可能永不能通過有限線性組合擴展出整個空間。所謂的正交基是通過有時無限的線性組合擴展出這個空間的相互正交的單位向量的集合。除了在有限維情況之外,這個概念不純粹是代數的,而區別於Hamel基;它也是更一般性有用的。「無限維希爾伯特空間的正交基因此不是Hamel基」。

拓撲向量空間中,一般的說,可以定義為無窮級數並表達這個空間的元素為其他特定元素的「無限線性組合」。其中的有限和無限組合的基,前者被叫做「Hamel基」而後者被叫做「Schauder基英語Schauder basis」,對應的維度叫做Hamel維度和「Schauder維度」。

例子[編輯]

傅立葉級數的研究中,函數{1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }是所有的在區間[0, 2π]上為平方可積分的(實數或複數值)的函數的(實數或複數)向量空間的「正交基」,這種函數f滿足

函數{1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }是線性無關的,所有在[0, 2π]上平方可積分的函數f是它們的「無限線性組合」,在如下意義上

對於適合的(實數或複數)係數ak, bk。但是多數平方可積分函數不能表達為這些基函數的有限線性組合,因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函數的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值,而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

參見[編輯]

外部連結[編輯]