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外積

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外積英語:Outer product),在線性代數中一般指兩個向量張量積,其結果為一矩陣;與內積相對,兩向量的內積結果為純量

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到:一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩陣乘法定義[編輯]

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定 列向量 行向量,它們的外積被定義為矩陣,結果出自

這裡的張量積就是向量的乘法。

使用座標:

對於複數向量,習慣使用複共軛(指示為),因為人們把行向量認為是對偶空間複共軛向量空間的元素:

如果是列向量,定義變為:

這裡的共軛轉置

相對於內積[編輯]

如果是行向量,而且m = n,則可以採用其他方式的積,生成一個純量(或矩陣):

它是歐幾里得空間的標準內積,常叫做點積

抽象定義[編輯]

給定向量余向量,張量積給出映射,在同構之下。

具體的說,給定

這裡的w上的求值,它生成一個純量,接著乘v

可作為替代,它是的複合。

如果,則還可以配對,這是內積

參見[編輯]