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外積

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外積英語Outer product),在線性代數中一般指兩個向量張量積,其結果為一矩陣;與內積相對,兩向量的內積結果為純量

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到:一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩陣乘法定義[編輯]

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定m\times 1 列向量\mathbf{u}1 \times n 行向量\mathbf{v},它們的外積\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}被定義為m\times n矩陣\mathbf{A},結果出自

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}

這裡的張量積就是向量的乘法。

使用座標:

\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  \otimes   \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

對於複數向量,習慣使用\mathbf{v}複共軛(指示為\bar{\mathbf{v}}),因為人們把行向量認為是對偶空間複共軛向量空間的元素:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}

如果\mathbf{v}是列向量,定義變為:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*

這裡的\mathbf{v}^*\mathbf{v}共軛轉置

相對於內積[編輯]

如果\mathbf{v}是行向量,而且m = n,則可以採用其他方式的積,生成一個純量(或1 \times 1矩陣):

\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle = \mathbf{v} \mathbf{u}

它是歐幾里得空間的標準內積,常叫做點積

抽象定義[編輯]

給定向量v \in V余向量w^* \in W^*,張量積v \otimes w^*給出映射A\colon W \to V,在同構\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V之下。

具體的說,給定w \in W

A(w) := w^*(w)v

這裡的w^*(w)w^*w上的求值,它生成一個純量,接著乘v

可作為替代,它是w^*\colon W \to Kv\colon K \to V的複合。

如果W=V,則還可以配對w^*(v),這是內積

參見[編輯]