多項式餘數定理

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多項式餘式定理是指一個多項式除以一線性多項式餘式

定義[編輯]

我們可以一般化多項式餘數定理。如果的商式是、餘式是,那麼。其中的次數會小於的次數。例如,的餘式是。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。 至於除式為2次以上時,可將n次除式的列出聯立方程: 。其中是被除式是餘式。 此方法只可用在除式不是任一多項式的次方。

推導[編輯]

多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根據多項式除法的定義,設被除式為,除式為,商式為,餘式為,則有
.
如果是一次式,則的次數小於一,因此,只能為常數,這時,餘式也叫餘數,記為,即有
.
根據上式,當時,有
.
因此,我們得到了餘數定理:多項式除以所得的餘數等於.

參考[編輯]