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布朗運動

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模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動
粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

布朗運動(Brownian motion)是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種常態分布獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為:布朗運動W(t)是期望為0、方差為t(時間)的正態隨機變量。對於任意的r小於等於s,W(t)-W(s)獨立於的W(r),且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程鞅過程伊藤過程

它是在西元1827年[1]英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時,發現微粒會呈現不規則狀的運動,因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小,因為就是有中的水分子對微粒的碰撞產生的,而不規則的碰撞越明顯,就是原子越大,因此根據布朗運動,定義原子的直徑為10-8厘米。

定義[編輯]

自1860年以來,許多科學家都在研究此種現象,後來發現布朗運動有下列的主要特性:[2]

  1. 粒子的運動由平移轉移所構成,顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
  2. 粒子之移動顯然互不相關,甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
  3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時,粒子的運動越活潑。
  4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
  5. 粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解[編輯]

值得注意的是,布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動,而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。

一般而言,花粉之直徑分布於30~50μm、最小亦有10μm之譜,相較之下,水分子直徑約0.3nm(非球形,故依部位而有些許差異。),略為花粉的十萬分之一。因此,花粉難以產生不規則振動,事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時,時常受到誤解,以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下,在大眾一般觀念中,此誤會已然根深蒂固。

花粉具備足夠大小,幾乎無法觀測到布朗運動。

日本,以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴,岩波書店『岩波理科辭典』[3]花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理學原論(上)』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』,甚至日本的理科課本等等,皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年橫浜市立大學名譽教授植物學岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中,點出此誤謬之前,鮮少有人注意。國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』(1970年)時,實際攝影漂浮在水中之花粉,卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月,以「外行人與專家之間」為題,解說有關布朗運動之誤會。

愛因斯坦的理論[編輯]

在1905年,愛因斯坦提出了相關理論。他的的理論有兩個部分:第一部分定義布朗粒子擴散方程,其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關,而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式,愛因斯坦可決定原子的大小,一莫耳有多少原子,或氣體的克分子量。根據亞佛加厥定律,所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升,其中包含的原子的數目被稱為「亞佛加厥常數」。由氣體的莫耳質量除以亞佛加厥常數等同原子量。

愛因斯坦論證的第一部分是,確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。[4][來源請求] 經典力學無法確定這個距離,因為布朗粒子將會受到大量的撞擊,每秒大約發生 1014 次撞擊。[5] 因此,愛因斯坦將之簡化,即討論一個布朗粒子團的運動[來源請求]

他把粒子在一個的空間中,把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值( 或者 x,並對其坐標進行變換,讓原點成為粒子運動的初始位置)並給出概率密度函數 。另外,他假設粒子的數量有限,並擴大了密度(單位體積內粒子數量),展開成泰勒級數 。

第一行中的第二個等式是被 這個函數定義的。第一項中的積分等於一個由概率定義函數,第二項和其他偶數項(即第一項和其他奇數項)由於空間對稱性而消失。化簡可以得到以下關係關係:

拉普拉斯算子之前的係數,是下一刻的隨機位移量 ,讓 D 為質量擴散係數:

那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程:

假設在初始時刻t = 0時,所有的粒子從原點開始運動,擴散方程的解

數學模型[編輯]

定義[編輯]

滿足下列條件的我們稱之為布朗運動

  1. 這個鞅是關於時間連續的。
  2. 他的平方減去時間項也是一個鞅。

是一個布朗運動若且唯若為鞅,且也為鞅.

其他定義[編輯]

3000步的2維布朗運動的模擬。
1000步的3維布朗運動模擬。

一維的定義

一維布朗運動是關於時間t的一個隨機過程,他滿足 :

  1. (獨立增量)設時間ts滿足t > s,增量獨立於時間s前的過程
  2. (穩定增量和正態性)設時間ts滿足t > s,增量服從均值為0方差為ts的常態分布。
  3. 幾乎處處連續, 也就是說在任何可能性下, 函數是連續的.
  4. 通常假設。這種布朗運動我們稱它為標準的。

等價定義

一維布朗運動是關於時間t的一個隨機過程,他滿足 :

  1. 是一個高斯過程,也就是說對於所有的時間列:,隨機向量:服從高維高斯分布(常態分布)。
  2. 幾乎處處連續。
  3. 對於所有st,均值,協方差.

高維定義

d维布朗运动,只需满足为独立的布朗运动。

換句話說,d維布朗運動 取值於,而它在空間上的投影均為布朗運動。

Wiener測度的定義

為從的連續函數空間,為概率空間。布朗運動為映射

          .

Wiener測度 (或稱為布朗運動的分布)設為,是映射B關於的圖測度。

換句話說, W上的一個概率測度,滿足對於任何,有

備忘

  • 布朗運動是一種增量服從常態分布的萊維過程
  • 這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性,比如幾乎處處連續,軌跡幾乎處處不可微等等。
  • 我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由Levy定理演化而來, 即: 軌跡連續且二次變差為的隨機過程為布朗運動。

性質[編輯]

  • 布朗運動的軌道幾乎處處不可微:對於任何,軌道為一個連續但是零可微的函數。
  • 協方差
  • 布朗運動具有強馬氏性: 對於停時T,取條件,過程為一個獨立於的布朗運動。
  • 它的Fourier變換特徵函數。可見,布朗運動是一個無偏,無跳躍,二項係數為1/2的Levy過程。
  • 布朗運動關於時間是齊次的: 對於s > 0, 是一個獨立於的布朗運動。
  • -B是一個布朗運動。
  • (穩定性) 對於c > 0, 是布朗運動。
  • (時間可逆性)t=0之外是布朗運動。
  • 常返性)只有1維和2維布朗運動是常返的:
      如果,集合不是有界的,對於任何
      如果(幾乎處處)。
  • (反射原理)

布朗運動的數學構造[編輯]

利用Kolmogorov一致性定理[編輯]

空間中一列實值函數。設:

這列函數滿足:

,任意的,矩陣為對稱半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理,我們可以構造高斯過程,它的均值任意, 協方差為上面定義的

為不依賴於t的常數,上的示性函數。則:

在這個情況下,矩陣是對稱且正定的。

我們稱一個高斯過程為 布朗運動若且唯若均值為0,協方差為s。,當時, 稱之為 標準的布朗運動.

利用隨機過程[編輯]

Donsker定理(1951)證明了逐漸歸一化的隨機漫步弱收斂於布朗運動。

其中(Un, n ≥ 1) 獨立同分布, 均值為0,方差為σ的隨機變量序列。

利用傅立葉級數[編輯]

設2列獨立的正態隨機變量序列。定義

為布朗運動。

參見[編輯]

腳註[編輯]

  1. ^ 部分紀錄為1828年。
  2. ^ 李育嘉. 漫談布朗運動. 
  3. ^ 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。
  4. ^ BROWNIAN MOTION. : 5. 
  5. ^ Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41Template:Hyphen1. 

外部連結[編輯]

https://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion