龐加萊半平面模型

龐加萊模型的星狀正則七邊形鑲嵌（Order-3 heptagonal tiling）。

在非歐幾里得幾何中，龐加萊半平面模型（Poincaré half-plane model）是賦有龐加萊度量的上半平面，這是二維雙曲幾何的一個模型。

它以昂利·龐加萊命名，但最初是貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）發現的，他用這個模型與克萊因模型以及龐加萊圓盤模型（屬於黎曼）證明了雙曲幾何與歐幾里得幾何的相容性等價（equiconsistent）。圓盤模型與半平面模型在共形映射下是等價的。

對稱群

射影線性群 PGL(2,C) 由莫比烏斯變換作用在黎曼球面上。保持上半平面不動的子群是 PGL(2,R)，這些變化的係數是實數，它們傳遞、等距作用在上半平面上，將它變成一個齊性空間。

有四個非常相關的李群通過分式線性變換作用在上半平面上，且保持雙曲距離。

• 由行列式為 +1 的 2×2 實矩陣組成的特殊線性群SL(2,R)。注意許多書籍經常說 SL(2,R)，其實際是指 PSL(2,R)。
• 由行列式為 +1 或 -1 組成的 2×2 實矩陣 S*L(2,R) 。注意 SL(2,R) 是這個群的一個子群。
• 射影線性群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I}，由 SL(2,R) 中矩陣模去正負恆同矩陣。
• 群 PS^*L(2,R) = S^*L(2,R)/{±I} 同樣是射影群，同樣是模去正負恆同矩陣。

這些群與龐加萊模型的關係如下：

• H 的所有等距的群，通常記做 Isom(H)，同構於 PS^*L(2,R)。這包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（鏡映射）是 $z\rightarrow -{\overline {z}}$。
• H 保持定向的等距，通常記做 Isom⁺(H)，同構於 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一個經常見到的是模群 SL(2,Z)。這個群在兩個方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格點的對稱群。從而在一個方形網格中周期函數，比如模形式以及橢圓函數，將從這個網格繼承一個 SL(2,Z) 對稱。另一方面，SL(2,Z) 當然也是 SL(2,R) 的一個子群，從而嵌入其中有雙曲表現。特別地，SL(2,Z) 可用來將雙曲平面鑲嵌為等（龐加萊）面積的單元。

等距對稱

特殊線性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定義為

$\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.\,$

注意到這個作用是傳遞的，從而任何對 $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$，存在一個 $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 使得 $gz_{1}=z_{2}$。這個作用也是忠實的：如果對 z 屬於 H 有 $gz=z$，那麼 g=e。

H 中一個元素 z 穩定子或迷向子群是所有 $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 使 z 不變 gz=z 的集合。$i$ 的穩定子是旋轉群

${\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.\,$

由傳遞性，H' 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一個元素映為 $i$，這意味著任何 z 的迷向子群同構於 SO(2)。從而 H = PSL(2,R)/SO(2)。或者，上半平面上的切向量叢，稱為單位切叢，同構於 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z)，上半平面鑲嵌成自由正則集合（free regular set）。

測地線

這個度量張量的測地線是垂直於實數軸的圓弧（即圓心位於實軸上的半圓周）以及終於實軸的豎直直線。

經過 $i$ 的單位速度豎直測地線為：

$\gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i=ie^{t}.\,$

因為 PSL(2,R) 作為等距傳遞作用在上半平面，這條測地線通過 PSL(2,R) 的作用映到其它測地線。從而，一般的單位速度測地線由

$\gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}$

給出。這給出了上半平面上單位長切叢（復線叢）測地流的完整描述。

另見

• 平行角（Angle of parallelism）
• 阿諾索夫流（Anosov flow）
• 富克斯群（Fuchsian group）
• 富克斯模型（Fuchsian model）
• 克萊因群（Kleinian group）
• 克萊因模型
• 龐加萊度量
• 龐加萊圓盤模型（Poincaré disk model）
• 偽球面（Pseudosphere）
• 施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）
• 超平行定理（Ultraparallel theorem）

參考文獻

• Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
• Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
• John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.