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力矩

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在一個旋轉系統裏,作用力、位置向量、力矩、動量、角動量,這些物理量之間的關係。

物理學裏,作用力促使物體繞著轉動軸支點轉動的趨向,[1]稱為力矩torque),也就是扭轉的力。轉動力矩又稱為轉矩。力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力 ,而扭轉則涉及到力矩。如圖右,力矩等於徑向向量與作用力叉積

簡略地說,力矩是一種施加於好像螺栓飛輪一類的物體的扭轉力。例如,用扳手的開口箝緊螺栓螺帽,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據國際單位制,力矩的單位是牛頓。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作單位;根據英制單位,力矩的單位則是英尺磅。力矩的表示符號是希臘字母,或

力矩與三個物理量有關:施加的作用力、從轉軸到施力點的位移向量、兩個向量之間的夾角。力矩以向量方程式表示為

力矩的大小為

歷史[編輯]

力矩的概念,起源於阿基米德槓桿的研究。

定義[編輯]

用右手定則決定力矩方向

力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如,3 牛頓的作用力,施加於離支點2 處,所產生的力矩,等於1牛頓的作用力,施加於離支點6米處,所產生的力矩。力矩是個向量。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲,伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線,則大拇指指向力矩的方向[2]

假設作用力施加於位置為的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量會產生力矩。這力矩的大小為,方向為垂直於螢幕向外。

更一般地,如圖右,假設作用力施加於位置為的粒子。選擇原點為參考點,力矩以方程式定義為

力矩大小為

其中,是兩個向量之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

其中,是作用力對於的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質,可以推論,力矩垂直於位置向量和作用力。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係[編輯]

地心重力的力矩造成角動量的改變。因此,陀螺呈現進動現象。

假設一個粒子的位置為,動量為。選擇原點為參考點,此粒子的角動量

粒子的角動量對於時間的導數為

其中,是質量,是速度,是加速度。

應用牛頓第二定律,可以得到

按照力矩的定義,,所以,

作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量對於時間的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的淨力矩共同決定角動量的對於時間的變化:

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,

其中,是物體對於固定軸的轉動慣量是物體的角速度

所以,取上述方程式對時間的導數:

其中,是物體的角加速度

單位[編輯]

力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制,力矩的單位是牛頓[3](Nm)。雖然牛頓與米的次序,在數學上,是可以交換的,但是國際重量測量局Bureau International des Poids et Mesures)規定這次序應是牛頓米,而不是米牛頓[4]

根據國際單位制能量功量的單位是焦耳,定義為1牛頓米。但是,焦耳不是力矩的單位。因為,能量是力點積距離的純量;而力矩是距離叉積作用力的向量。當然,因次相同並不儘是巧合,使1牛頓米的力矩,作用1 全轉,需要恰巧焦耳的能量:

其中,是能量,是移動的角度,單位是弧度

根據英制,力矩的單位是英尺磅。

矩臂方程式[編輯]

矩臂圖

在物理學外,其他的學術界裡,力矩時常會如以下定義:

右圖顯示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相對位置、作用力(force)。這個定義並沒有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,並不適用於三維空間問題。

靜力概念[編輯]

當一個物體在靜態平衡時,淨力是零,對任何一點的淨力矩也是零。二維空間的平衡要求是

這裡,是作用力分別在x-軸與y-軸的分量。假若,這三個聯立方程式有解,則稱此系統為靜定系統;不然,則稱為靜不定系統。

力矩、能量和功率之間的關係[編輯]

假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,

其中,是機械功,分別是初始角和終結角,是無窮小角位移元素。

根據功能定理也代表物體的旋轉動能的改變,以方程式表達,

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動,功率以方程式表達為

請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。

實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度(不是每分鐘轉速rpm,也不是每秒鐘轉速)。

力矩原理[編輯]

力矩原理闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的淨力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)[5],以方程式表達,

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
  2. ^ *喬治亞州州立大學Georgia State University)線上物理網頁:力矩的右手定則, [2007-09-08] 
  3. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01] 
  4. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01] 
  5. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4. 

外部連結[編輯]