拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是應用數學中常用的一種積分變換，又名拉氏轉換，其符號為$\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有引數實數t（t ≥ 0）的函數轉換為一個引數為複數s的函數。

有些情形下一個實變數函數在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變數函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

基本定義

如果定義：

• $f(t)\,$是一個關於$t\,$的函數，使得當$t<0\,$時候，$f(t)=0\,$；
• $s\,$ 是一個複變數；
• $\mathcal{L}$ 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分$\int_0^\infty e^{-st}\,dt$；$F(s)\,$是$f(t)\,$的拉普拉斯變換結果。

則$f(t)\,$的拉普拉斯變換由下列式子給出：

$F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt$

雙邊拉普拉斯變換

除了普遍使用的單邊拉普拉斯變換外，雙邊拉普拉斯變換是將單邊變換積分範圍擴大為整個實數區域：

$F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt$

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換，是已知$F(s)\,$，求解$f(t)\,$的過程。用符號 $\mathcal{L}^{-1}\,$表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對於所有的$t>0\,$；

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds$

$c\,$是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且直線$Re(s)=c$處在$F(s)$的收斂域內。

拉普拉斯變換的存在性

關於一個函數$f(t)\,$的拉普拉斯變換，只有在拉普拉斯積分是收斂的情況下才存在。也就是說，$f(t)\,$必須是在對於$t>0\,$的每一個有限區間內都是間斷性連續的，且當$t\,$趨於無窮大的時候，$f(t)\,$是指數階地變化。

拉普拉斯變換的基本性質

• 線性疊加

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

• 時域微分（單邊拉普拉斯變換）

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

• s域微分

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

• s域積分

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

$\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1$

• 時域積分

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

• 初值定理

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$ ，要求${F(s)}$為真分式，即分子的最高次小於分母的最高次，否則使用多項式除法將${F(s)}$分解

• 終值定理

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$　，要求${F(s)}$的所有極點都在左半複平面或原點為單極點。

終值定理的實用性在於它能預見到系統的長期表現，且避免部分分式展開。如果函數的極點在右半平面，那麼系統的終值未定義(例如：$e^t\,$ 或 $\sin(t)\,$)。

• $s$域平移

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

• 時域平移

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

注: $u(t)\,$ 表示階躍函數.

• 卷積

$\mathcal{L} \left\{f(t) * g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}*\mathcal{L}\{ g(t) \}$　，$c\,$是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大於所有$F(\sigma)\,$的個別點的實部值。

$\mathcal{L}\left\{f(t) * g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}* \mathcal{L}\{ g(t) \}$

變換簡表

原函數 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$	轉換後函數 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$	收斂區域
$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > | \omega | \,$
$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$	$-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$	$s > 0 \,$
$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$

與其他變換的聯繫

• 與傅立葉變換關係

令s = iω或s = 2πfi，有：

$\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$

• 與z變換的聯繫

z 變換表達式為：

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

其中$z \leftarrow e^{s T} \$. 比較兩者表達式有：

$X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

例子：如何應用此變換及其性質

拉普拉斯變換在物理學和工程中是常用的；線性時不變系統的輸出可以通過卷積單位脈衝響應與輸入信號來計算，而在拉氏空間中執行此計算將卷積通過轉換成乘法來計算。後者是更容易解決，由於它的代數形式。

拉普拉斯變換也可以用來解決微分方程，這被廣泛應用於電力工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡為代數方程，這樣就可以通過代數規則來解決。原來的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國電力工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個類似的計劃，雖然沒有使用拉普拉斯變換；以及由此產生的演算被譽為黑維塞演算。

在工程學上的應用

應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示，對於分析系統特性，系統穩定有著重大意義；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。

相關條目

• z轉換
• 微分方程
• 傅立葉變換
• 微分幾何中的拉普拉斯算子
• 控制理論
• 信號處理
• 線性系統

參考書目、資料來源

• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師，高立出版社。