拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是應用數學中常用的一種積分變換，又名拉氏轉換，其符號為$\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有引數實數t（t ≥ 0）的函數轉換為一個引數為複數s的函數：

$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.$

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的，最常見的f(t)和F(s)組合常印製成表，方便查閱。拉普拉斯變換得名自皮埃爾-西蒙·拉普拉斯，他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅立葉變換有關，不過傅立葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統，可用來分析電子電路、諧振子、光學儀器及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域和頻域之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數，單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間。像時域下的線性非時變系統，在頻域下會轉換為代數方程，在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。

正式定義

對於所有實數t ≥ 0，函數f(t)的拉普拉斯變換是函數F(s)，定義為：

$F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt$

參數s是一個複數：

$s = \sigma + i \omega, \,$σ和ω為實數。

拉普拉斯變換的其他表示法中使用$\displaystyle\mathcal{L}f$或$\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}$而非F。$\mathcal{L}$ 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分$\int_0^\infty e^{-st}\,dt$；$F(s)\,$是$f(t)\,$的拉普拉斯變換結果。

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換有許多不同的名稱，如維奇積分、傅立葉-梅林積分、梅林逆公式，是一個復積分：

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,$

其中γ是一個使F(s)的積分路徑在收斂域內的實數。

拉普拉斯變換的存在性

關於一個函數$f(t)\,$的拉普拉斯變換，只有在拉普拉斯積分是收斂的情況下才存在。也就是說，$f(t)\,$必須是在對於$t>0\,$的每一個有限區間內都是間斷性連續的，且當$t\,$趨於無窮大的時候，$f(t)\,$是指數階地變化。

性質和定理

函數f(t)和g(t)的拉普拉斯變換分別為F(s)和G(s)：

$\begin{align} f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} \\ g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} \end{align}$

下面的表格是一系列單邊拉普拉斯變換的性質：

單邊拉普拉斯變換的性質

	時域	s域	注釋
線性疊加	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$	可以用積分的基本規則證明。
s域一階微分	$t f(t) \$	$-F'(s) \$	F′是F的一階導數。
s域一般微分	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$	更一般的形式是F(s)的n階導數。
時域一階微分	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0) \$	f是一個可微函數，並且其導數為指數類型。這條性質可以通過分部積分得到。
時域二階微分	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \$	f為二階可微且二階導數是指數型的。通過對f′(t)應用微分性質可得。
時域一般微分	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \$	f為n階可微，其n階導數是指數型的。通過數學歸納法證明。
s域積分	$\frac{1}{t}f(t) \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$	這是由s域微分和條件收斂推導出來的。
時域積分	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = (u * f)(t)$	${1 \over s} F(s)$	u(t)是階躍函數，注意到 (u ∗ f)(t) 是u(t)和f(t)的卷積。
時間標度	$f(at)$	$\frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )$	$a > 0 \$
s域平移	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
時域平移	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$	u(t)表示階躍函數
乘法	$f(t)g(t)$	$\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \$	積分沿完全處在F收斂域內的豎直線Re(σ) = c。
卷積	$(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau$	$F(s) \cdot G(s) \$
複共軛	$f^*(t)$	$F^*(s^*)$
互相關	$f(t)\star g(t)$	$F^*(-s^*)\cdot G(s)$
周期函數	$f(t)$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$	f(t)是一個周期為T的周期函數，於是對所有t ≥ 0，有'f(t) = f(t + T)。這條性質是時域平移和幾何級數的結果。

• 初值定理：

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.$，要求${F(s)}$為真分式，即分子的最高次小於分母的最高次，否則使用多項式除法將${F(s)}$分解

• 終值定理：

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$，要求sF(s)的所有極點都在左半複平面或原點為單極點。

由於終值定理無需經過部分分式分解或其他困難的代數就能給出長期的行為，它就很有用。如果$F(s)$在右側面或虛軸上有極點，（例如$f(t) = e^t$或$f(t) = sin(t)$）這個公式的行為就是未定義的。

與冪級數的關係

拉普拉斯變換可以看成是冪級數的一個連續模擬。如果 a(n) 是正整數 n 的一個離散函數，那麼與 a(n) 相關的冪級數為

$\sum_{n=0}^{\infty} a(n) x^n$

其中 x 是實變數（參見Z變換）。將對 n 的加和替換成對 t 的積分，則此冪級數的連續形式為

$\int_{0}^{\infty} f(t) x^t \,dt$

其中離散型函數 a(n) 被替換成連續型的 f(t)。（參見下文梅林變換。）改變冪的基底 x 為 e 得

$\int_{0}^{\infty} f(t) \left(e^{\log{x}}\right)^t \,dt$

要使這個積分對任何有界函數 f 都收斂，就需要滿足$\log{x} < 0$。使用−s = log x代換就能得到拉普拉斯變換：

$\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,dt$

換句話說，拉普拉斯變換是冪級數的一個連續模擬，只是把離散參數 n 換成了連續變數 t ， x 換成了 e^−s。

與矩的關係

函數 f 的矩為

$\mu_n = \int_0^\infty t^nf(t)\,dt$

如果 f 的前 n 階矩絕對收斂，則通過反覆在積分符號內取微分，就得到$(-1)^n(\mathcal L f)^{(n)}(0) = \mu_n$。這在機率論里是有特別重要的意義的，其中隨機變數 X 的矩是$\mu_n=E[X^n]$。下面的關係成立：

$\mu_n = (-1)^n\frac{d^n}{ds^n}E\left[e^{-sX}\right].$

證明函數導數的拉普拉斯變換

很方便用拉普拉斯變換的微分性質來求函數導數的變換。從拉普拉斯變換的基本表達式就可以推導如下：

$\begin{align} \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} &= \int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \\ &= \left[\frac{f(t)e^{-st}}{-s} \right]_{0^-}^{\infty} - \int_{0^-}^\infty \frac{e^{-st}}{-s} f'(t) \, dt\quad \text{(by parts)} \\ &= \left[-\frac{f(0^-)}{-s}\right] + \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{f'(t)\right\}, \end{align}$

導出

$\mathcal{L}\left\{ f'(t) \right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0^-),$

而在雙邊的情形下，

$\mathcal{L}\left\{ { f'(t) } \right\} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\,dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}.$

一般化的結果是

$\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \cdot \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-),$

其中 f⁽ⁿ⁾ 表示 f 的 n階導數，可以由歸納假設得出。

計算廣義積分

令$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(s)$，則（參見上面的表格）

$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_{s}^{\infty}F(p)\, dp,$

或

$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\, dt=\int_{s}^{\infty}F(p)\, dp.$

令 s → 0，gives one the identity

$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}\, dt=\int_{0}^{\infty}F(p)\, dp.$

provided that the interchange of limits can be justified. Even when the interchange cannot be justified the calculation can be suggestive. For example, proceeding formally one has

$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}\, dt = \int_{0}^{\infty}\left(\frac{p}{p^{2} + a^{2}}-\frac{p}{p^{2} + b^{2}}\right)\, dp = \frac{1}{2}\left.\ln\frac{p^{2} + a^{2}}{p^{2} + b^{2}} \right|_{0}^{\infty} = \ln b - \ln a.$

這個性質的正確性可以用其他方法證明。它是傅汝蘭尼積分（Frullani integral）的一個例子。

例子還有狄利克雷積分。

與其他變換的聯繫

與傅立葉變換關係

連續傅立葉變換相當於計算令 s = iω 或 s = 2πfi 的雙邊拉普拉斯變換：

$\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$

與z變換的聯繫

z 變換表達式為：

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

其中$z \leftarrow e^{s T} \$. 比較兩者表達式有：

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

拉普拉斯變換簡表

下表提供了許多常用單變數函數的拉普拉斯變換。 對於定義和解釋，請參見表末的注釋 。

由於拉普拉斯變換是一個線性運算元：

• 和的拉普拉斯變換等於各項的拉普拉斯變換的總和。

$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

• 一個函數的倍數的拉普拉斯變換等於該函數的拉普拉斯變換的倍數。

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

使用這個線性性質 ，以及各種三角、雙曲、和複數 （等）的性質，可以從其他拉普拉斯變換得到一些拉普拉斯變換，這會比直接通過使用定義更快。

單邊拉普拉斯變換取時域為非負實數的函數作為輸入，這就是下表中所有時域函數都乘以單位階躍函數 u(t) 的原因。表中涉及時間延遲 τ 的條目必須是因果的 （即 τ > 0）。因果系統是 t = 0 之前的衝激響應 h(t) 都為零的一個系統。在一般情況下，因果系統的收斂區域和反因果系統是不相同的。

函數	時域 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$	拉普拉斯s域 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$	收斂區域	參考
單位脈衝函數	$\delta(t) \$	$1$	所有 s	檢驗
延遲脈衝函數	$\delta(t - \tau) \$	$e^{-\tau s} \$		單位脈衝函數 的時移
單位階躍函數	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	Re(s) > 0	對單位衝激函數積分
延遲單位階躍函數	$u(t - \tau) \$	$\frac{1}{s} e^{-\tau s}$	Re(s) > 0	單位階躍函數 的時移
斜坡函數	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	Re(s) > 0	兩次積分 單位脈衝函數
n次冪 （n 為整數）	$t^n \cdot u(t)$	${ n! \over s^{n + 1} }$	Re(s) > 0 (n > −1)	n次積分 單位階躍函數
q次冪 （q 為複數）	$t^q \cdot u(t)$	${ \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} }$	Re(s) > 0 Re(q) > −1
n次方根	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{\frac{1}{n}+1} } \Gamma\left(\frac{1}{n} + 1\right)$	Re(s) > 0	由前一條性質中令 q = 1/n 得到。
頻移的 n 次方	$t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}$	Re(s) > −α	對單位階躍函數積分， 應用頻移
延遲的頻移的 n 次方	$(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	Re(s) > −α	對單位階躍函數積分， 應用頻移， 應用時移
指數衰減	$e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	${ 1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	單位階躍函數 的頻移
雙側指數衰減 （僅對於雙邊變換）	$e^{-\alpha|t|} \$	${ 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 }$	−α < Re(s) < α	單位階躍函數 的頻移
指數趨近	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	Re(s) > 0	單位階躍函數 減去指數衰減
正弦	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	Re(s) > 0	Bracewell 1978，第227頁
餘弦	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	Re(s) > 0	Bracewell 1978，第227頁
雙曲正弦	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	Re(s) > |α|	Williams 1973，第88頁
雙曲餘弦	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	Re(s) > |α|	Williams 1973，第88頁
指數衰減 正弦波	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	Re(s) > −α	Bracewell 1978，第227頁
指數衰減 餘弦波	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	Re(s) > −α	Bracewell 1978，第227頁
自然對數	$\ln (t) \cdot u(t)$	$- { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right]$	Re(s) > 0	Williams 1973，第88頁
n 階第一類貝索函數	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Williams 1973，第89頁
誤差函數	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	$\frac{1}{s}e^{\frac{1}{4}s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac{s}{2}\right)$	Re(s) > 0	Williams 1973，第89頁
注釋： u(t) 表示單位階躍函數 。 $\delta(t) \,$表示狄拉克δ函數 。 Γ(z) 表示Γ函數 。 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數 。 t 為實數，通常表示時間， 儘管它可以表示任意獨立空間。 s 為復角頻率，而 Re(s) 是它的實部。 α, β, τ 和 ω 是實數。 n 是整數。

例子：如何應用此變換及其性質

拉普拉斯變換在物理學和工程中是常用的；線性時不變系統的輸出可以通過卷積單位脈衝響應與輸入信號來計算，而在拉氏空間中執行此計算將卷積通過轉換成乘法來計算。後者是更容易解決，由於它的代數形式。

拉普拉斯變換也可以用來解決微分方程，這被廣泛應用於電力工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡為代數方程，這樣就可以通過代數規則來解決。原來的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國電力工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個類似的計劃，雖然沒有使用拉普拉斯變換；以及由此產生的演算被譽為黑維塞演算。

在工程學上的應用

應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示，對於分析系統特性，系統穩定有著重大意義；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。

相關條目

• z轉換
• 微分方程
• 傅立葉變換
• 微分幾何中的拉普拉斯運算元
• 控制理論
• 信號處理
• 線性系統
• 雙邊拉普拉斯變換

參考書目、資料來源

• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師，高立出版社。

• Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .