極限 (數列)

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極限,即為一個數列,使得,其中L為一確定的常數,亦即數列隨著n的增加而趨近於L

定義[編輯]

設一數列

若對於任意的正實數,存在自然數,使得對所有,有

用符號來表示即

則稱數列收斂記作

收斂數列[編輯]

其中一個判斷數列是否收斂的定理,稱為單調收斂定理,和實數完備性相關:單調有界數列收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂

數列極限的性質[編輯]

定理1(唯一性)若數列的極限存在,則極限是唯一的。

   證:設數列有兩個不相等的極限值,則對應於,並且可找到正數,使時,恆有
   ,
   從而,
   這與假設不符,
   故不可能以兩個不相等的數為極限。

定理2(有界性)若數列有極限,則有界,即,使得,有.

   證:因為,所以對於,使得當時有,
   從而,
   令,於是,有,即有界。

注意有界數列不一定有極限,如數列

有界,但無極限。

如數列無界,則數列發散。

定理3(保序性)若,且,則,使得,有.

   證:已知,且。取,由極限定義知:
   ,有
                                     ,
   從而
                                     ,有
                                     ,
   從而
                                     。
   所以當時,有
                                     ,
   即                                

數列的四則運算[編輯]

,則

(1)

(2)

(3)若,則.

參看[編輯]