級數

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無窮級數
無窮級數

數學中,一個有窮或無窮的序列的元素的形式和稱為級數。序列中的項稱作級數的通項。級數的通項可以是實數矩陣向量等常量,也可以是關於其他變量的函數,不一定是一個。如果級數的通項是常量,則稱之為常數項級數,如果級數的通項是函數,則稱之為函數項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。如果序列是無窮序列,其和則稱為無窮級數,有時也簡稱為級數。無窮級數有發散和收斂的區別,稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個發散的無窮級數在一般意義上沒有和,但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作或者,級數收斂時,其和通常被表示為

無窮級數的定義[編輯]

是一個無窮序列 :,其前n項的和稱為部分和

部分和依次構成另一個無窮序列:

這兩個序列合稱為一個級數,記作或者,其中符號為求和號

無窮級數的斂散性[編輯]

對於級數,如果當趨於正無窮大時,sn趨向一個有限的極限,那麼這個無窮級數就叫做是收斂的,叫做級數的和。如果極限不存在,這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和s。這時可以定義級數餘項和

任意項級數[編輯]

如果級數中的各項可以是正數,負數或零,則級數稱為任意項級數。 將任意項級數各項取絕對值,得到正項級數

條件收斂[編輯]

如果任意項級數收斂,而級數發散,則稱級數條件收斂

絕對收斂[編輯]

如果級數收斂,則稱級數絕對收斂

定理:如果任一項級數的各項的絕對值所組成的正項級數收斂,則級數收斂。

收斂級數的性質[編輯]

  • 若一個無窮級數收斂,其和為s,則如果每一項乘以一個常數a,得到的級數也收斂,且和等於as
  • 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減,如有兩個無窮級數:
,則
.
  • 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性,如:

這兩個級數的斂散性是一樣的。

  • n趨向無限大時,任何一個收斂級數的通項都趨於0:
  • 在一個完備空間中,也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂:一個無窮級數收斂的充要條件是,對任意 ,總存在,使得任意的

無窮級數的研究歷史[編輯]

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念,對泰勒級數麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦餘弦正切函數等的泰勒展開,還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17世紀,詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數,並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年,布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數q-級數的理論。

對審斂法的研究[編輯]

14世紀時,馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則,後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲,審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

的論文,提出了一些簡單的收斂準則,並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性,他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的,同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826年,阿貝爾在他的關於二項式級數

的論文中更正了柯西的若干個結論,並給出了二項式級數的嚴格的求和方法,指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的,只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家,比如拉貝(Joseph Ludwig Raabe)的對數判別法德·摩根對數判別法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效) ,以及貝特朗斯托克斯切比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始,之後的艾森斯坦維爾斯特拉斯尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

對一致連續性的研究[編輯]

1821年,柯西首先開始對一致連續性的研究,但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出,但首先得出正確結論的是西德爾en:Philipp Ludwig von Seidel)和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究,並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而,一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

類別[編輯]

幾何級數[編輯]

幾何級數(或等比級數)是指通項為等比數列的級數,比如:

一般來說,幾何級數收斂若且唯若 |z| < 1。

調和級數[編輯]

調和級數是指通項為 的級數:

它是發散的。

p-級數[編輯]

p-級數是指通項為的級數:

對於實數值的p,當p > 1 時收斂,當p ≤ 1 時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制,關於黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想

裂項級數[編輯]

收斂若且唯若數列bn收斂到某個極限L,並且這時級數的和是b1L

泰勒級數[編輯]

泰勒級數是關於一個光滑函數 在一點 附近取值的級數。泰勒函數由函數在點 的各階導數值構成,具體形式為:

這是一個冪級數。如果它在 附近收斂,那麼就稱函數 在點 上是解析的。

交錯級數[編輯]

具有以下形式的級數

其中所有的 an 非負,被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法

冪級數[編輯]

形同的函數項無窮級數稱為冪級數。它的收斂與否和係數有關。

傅立葉級數[編輯]

任何周期函數都可以用正弦函數餘弦函數構成的無窮級數來表示,稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函數項無窮級數,也就是說每項都是一個函數。傅立葉級數在數論組合數學信號處理機率論統計學密碼學聲學光學等領域都有著廣泛的應用。

例如,周期為的周期函數可以表示為:

其中,,特別的,

常數項無窮級數審斂法[編輯]

正項級數[編輯]

若通項為實數的無窮級數每一項都大於等於零,則稱是一正項級數

如果無窮級數 是正項級數,則部分和Sn是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則:單調有界數列必有極限。因此,要麼部分和數列Sn有界,這時收斂,,要麼部分和數列趨於正無窮,這時級數發散。


比較判別法[編輯]

是正項級數。

如果存在正實數 M,使得從若干項開始,(也就是說),則
  • 收斂時,可推出 也收斂。
  • 發散時,可推出 也發散。
如果,則
  • 收斂時,可推出 也收斂。
  • 發散時,可推出 也發散。
如果,則 同時收斂或發散。

比如,我們已知級數:收斂,則級數:也收斂,因為對任意的 n

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說,我們可以選擇比較簡單的級數:作為「標準級數」,依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當 時, 發散,當時, 收斂。

達朗貝爾判別法[編輯]

在比較判別法中,如果取幾何級數為比較的標準級數,可得:

是通項大於零的正項級數。並且,則
  • 時,級數 收斂。
  • 時,級數 發散。
  • 時,級數 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法比值審斂法

柯西收斂準則[編輯]

是正項級數。並且,則
  • 時,級數 收斂。
  • 時,級數 發散。
  • 時,級數 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法根值審斂法'

交錯級數[編輯]

具有以下形式的級數

其中所有的 an 非負,被稱作交錯級數

萊布尼茨判別法[編輯]

在上述的級數中,如果當 n 趨於無窮時, 數列 an 的極限存在且等於 0,並且每個 an 小於 an-1 (即, 數列 an單調遞減的),那麼級數收斂。

任意項級數[編輯]

對於通項為任意實數的無窮級數 ,將級數 稱為它的絕對值級數。可以證明,如果收斂,那麼 也收斂,這時稱 絕對收斂。如果 收斂,但是 發散,則稱 條件收斂。比如說,級數 絕對收斂,因為前面已經證明 收斂。而級數 是條件收斂的。它自身收斂到 ,但是它的絕對值級數 是發散的。

黎曼級數定理說明,如果一個無窮級數 條件收斂,那麼對於任意的實數 x ,存在一個正整數到正整數的雙射 ,使得級數 收斂到 x 。對於正負無窮大,上述雙射也存在。

函數項級數[編輯]

為定義在區間 I 上的函數列,則表達式:稱為函數項級數,簡記為。對函數項級數的主要研究是:

  1. 確定對哪些 x ,收斂。
  2. 收斂的話,其和是什麼,有什麼性質?

收斂域[編輯]

對區間 I 上的每個 ,級數 是常數項級數。若 收斂,則稱 的一個收斂點 全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 發散,則稱 的一個發散點 全體發散點的集合稱為它的發散域在其收斂域的每一點上都有定義,因此定義了一個函數,稱為和函數,記為。按照定義,,其中 為函數項級數在 點上的部分和。

一致收斂[編輯]

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義,但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說,當函數項級數 中的每一項 在收斂域上都是連續函數時,和函數未必會是連續函數。以下是一個例子:

,也就是說等等,它們顯然都是連續函數(甚至是光滑函數)。這時函數項級數在 點上的部分和。在區間的每一點上,部分和都有極限:
時,
時,
於是在區間上,級數 收斂,其和函數為:
時,
這不是一個連續函數。

然而,如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話,可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性,這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣,函數項級數在某個區間 內(關於某個範數)一致收斂的定義是它的部分和函數 在區間上一致收斂到和函數

或者寫成

可以證明:

如果級數 在區間 內一致收斂,並且每個 都是連續函數,那麼和函數 在區間 上也是連續函數。

進一步的,如果導函數級數的每一項都是 函數(p階連續可微函數),並且各階導函數級數在區間 內都一致收斂,那麼級數和函數 也是 函數,並且:

絕對收斂[編輯]

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間 和範數,函數項級數 在區間 內絕對收斂,若且唯若常數級數 收斂。

絕對收斂的(連續?)函數在每一點都收斂,並且在區間 內一致收斂。[來源請求]

冪級數[編輯]

形同的函數項無窮級數稱為冪級數。一般只需討論形同的冪級數。

冪函數的收斂域[編輯]

根據阿貝爾定理,它的收斂域是一個關於零對稱的區間,即為(可開可閉)的形式。這個正數 R (可以是無窮大)叫做冪級數的收斂半徑。並有定理:

設冪級數滿足,則:

  • 是正實數時,
  • 時,
  • 時,

冪級數的和函數[編輯]

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分(或求導)以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式,在求和後在對各項求導(或積分)。

漸進級數[編輯]

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的,它的部分和趨於無窮大,因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是,漸進級數提供的逼近是相對的,即只是比值趨於一致,與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說,漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差,之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

發散級數的和[編輯]

發散級數的部分和沒有極限,但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義,比如切薩羅求和阿貝爾求和以及歐拉求和

推廣[編輯]

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義,常用的是在一個巴拿赫空間(比如實數或複數空間)中。

注釋[編輯]

參考文獻[編輯]

參考書目[編輯]

  • 同濟大學數學系. 《高等數學》(第六版). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-021277-8. 
  • 北京大學數學科學學院. 《數學分析》(第二冊). 北京大學出版社. 

參見[編輯]