有理數

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各種各樣的
基本

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整數
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規矩數
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二次無理數
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延伸

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四元數
共四元數
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超數
上超實數

超複數
十六元數
複四元數
大實數
超實數
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其他

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雙曲複數
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質數
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艾禮富數

公稱值
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基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

數學上,可以表達為兩個整數比的數(a/b, b!=0)被定義為有理數,例如3/8,0.75(可被表達為3/4),與此對應的是無理數,如無法用整數比表示。
有理數分數的區別,分數是一種表示比值的記法,如 分數/2 是無理數
所有有理數的集合表示為Q,Q+,或。定義如下:

有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂稱為無理數

詞源[編輯]

有理數在希臘文中稱為λογος,原意是「成比例的數」。英文取其意,以ratio為字根,在字尾加上-nal構成形容詞,全名為rational number,直譯成漢語即是「可比數」。對應地,無理數則為「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《幾何原本》,在中國明代,從西方傳入中國,而從中國傳入日本時,出現了錯誤。

明末數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞(「λογος」)譯為「理」,這個「理」指的是「比值」。日本在明治維新以前,歐美數學典籍的譯本多半採用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的「理」直接翻譯成了理,而不是文言文所解釋的「比值」。後來,日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了「有理數」和「無理數」。

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。末中國派留學生到日本,將此名詞傳回中國,以至現在中日兩國都用「有理數」和「無理數」的說法

可見,由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位,才出現了今天的誤譯。[來源請求]

運算[編輯]

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的。有理數的加法乘法如下:

兩個有理數相等若且唯若

有理數中存在加法和乘法的逆:

時,

古埃及分數[編輯]

古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如:

對於給定的正有理數,存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

形式構建[編輯]

數學上可以將有理數定義為建立在整數有序對等價類,這裡不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法,規則如下:

為了使,定義等價關係如下:

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的,而且可以將Q定義為整數有序對關於等價關係~的商集。例如:兩個對 (a, b)和 (c, d)是相同的,如果它們滿足上述等式。(這種構建可用於任何整數環,參見商域。)

Q上的全序關係可以定義為:

若且唯若
  1. 並且
  2. 並且

性質[編輯]

有理數集是可數的

集合,以及上述的加法和乘法運算,構成,即整數商域

有理數是特徵為0的域最小的一個:所有其他特徵為0的域都包含的一個拷貝(即存在一個從到其中的同構映射)。

代數閉包,例如有理數多項式的根的域,是代數數域

所有有理數的集合是可數的,亦即是說基數(或)與自然數集合相同,都是阿列夫數。因為所有實數的集合是不可數的,從勒貝格測度來看,可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數是個稠密的集合:任何兩個有理數之間存在另一個有理數,事實上是存在無窮多個。

實數[編輯]

有理數是實數的緊密子集:每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數

依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的(稠密子集,因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量,有理數構成一個度量空間,這是上的第三個拓撲。幸運的是,所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間實數的完備集。

p進數[編輯]

除了上述的絕對值度量,還有其他的度量將轉化到拓撲域:

素數,對任何非零整數,這裡整除的最高次冪;

另外。對任何有理數,設

上定義了一個度量

度量空間不完備,它的完備集是p進數

參見[編輯]