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柯西-施瓦茨不等式

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數學上,柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式;例如線性代數矢量數學分析無窮級數和乘積的積分,和機率論變異數協變異數。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣,如赫爾德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

敘述[編輯]

柯西-施瓦茨不等式敘述,對於一個內積空間所有向量xy

其中表示內積,也叫點積。等價地,將兩邊開方,引用向量的范數,不等式可寫為

另外,等式成立當且僅當xy線性相依(或者在幾何上,它們是平行的,或其中一個向量的模為0)。

有虛部,內積即為標準內積,用拔標記共軛複數那麼這個不等式可以更明確的表述為

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果,是內積為連續函數,甚至是滿足1階利普希茨條件的函數。

特例[編輯]

等式成立時:

也可以表示成

證明則須考慮一個關於的一個一元二次方程式

很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式

注意到

而等號成立於判別式

也就是此時方程式有重根,故

  • 對平方可積的複值函數,有

這兩例可更一般化為赫爾德不等式

這是
n=3 時的特殊情況。

矩陣不等式[編輯]

列向量,則[a]

x=0時不等式成立,設x非零,,則
等號成立線性相依

Hermite陣,且,則

存在,設
等號成立線性相依

Hermite陣,且,則

存在,設
等號成立線性相依[1]

,則[2]

複變函數中的柯西不等式[編輯]

在區域D及其邊界上解析, 為D內一點,以為圓心做圓周 ,只要及其內部G均被D包含,則有:

其中,M是的最大值,

其它推廣[編輯]

[3]

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參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 表示x的共軛轉置

參考資料[編輯]

  1. ^ 王松桂. 矩陣不等式-(第二版). 
  2. ^ 程偉麗 齊靜. Cauchy不等式矩陣形式的推廣. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版). 2008, (4). 
  3. ^ 趙明方. Cauchy不等式的推廣. 四川師範大學學報(自然科學版). 1981, (2). 
  4. ^ 洪勇. 推廣的Cauchy不等式的再推廣. 曲靖師範學院學報. 1993, (S1).