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標準差

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標準差英語:Standard Deviation,SD),數學符號 σ(sigma),在機率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義為變異數算術平方根,反映組內個體間的離散程度;標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分布程度的結果,原則上具有兩種性質:

  1. 為非負數值;
  2. 與測量資料具有相同單位。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差,及一個子集合樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。

標準差的觀念是由卡爾·皮爾遜引入到統計中。

闡述及應用[編輯]

簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。

例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。

表述「相差k個標準差」,即在 μ ± kσ樣本(Sample)範圍內考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。

母體的標準差[編輯]

基本定義[編輯]

為平均值()。

簡易口訣:離均差平方和的平均;方均根。

簡化計算公式[編輯]

上述公式可以如下代換而簡化:

所以:

根號裡面,亦即變異數)的簡易口訣為:「平方和的平均」減去「平均的平方」。

母體為隨機變量[編輯]

隨機變量的標準差定義為:

須注意並非所有隨機變量都具有標準差,因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。

離散隨機變量的標準差[編輯]

是由實數構成的離散隨機變數英語:discrete random variable),且每個值的機率相等,則的標準差定義為:

 ,其中 

換成用來寫,就成為:

 ,其中 

目前為止,與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個可以有不同機率,則的標準差定義為:

 ,其中 

連續隨機變量的標準差[編輯]

為機率密度連續隨機變量英語:continuous random variable),則的標準差定義為:

其中

標準差的特殊性質[編輯]

對於常數和隨機變量

其中:
  • 表示隨機變量共變異數
  • 表示,即的變異數),對亦同。

樣本的標準差[編輯]

在真實世界中,找到一個母體的真實的標準差是不現實的。大多數情況下,母體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。

從一大組數值當中取出一樣本數值組合,常定義其樣本標準差

樣本變異數是對母體變異數無偏估計中分母為(相較於母體中的分母為),是因為自由度,這是由於存在約束條件

範例[編輯]

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }:

  • 第一步,計算平均值
(因為集合裏有4個數),分別設為:
(此為平均值)
  • 第二步,計算標準差
(此為標準差)

常態分布的規則[編輯]

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍,在常態分布中,此範圍所佔比率為全部數值之68%;兩個標準差之內(深藍,藍)的比率合起來為95%;三個標準差之內(深藍,藍,淺藍)的比率合起來為99.7%

在實際應用上,常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確,則約68%數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95%數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

標準差與平均值之間的關係[編輯]

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說,如果用平均值來考量數值的中心的話,則標準差也就是對統計的分散度的一個「自然」的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。較確切的敘述為:設實數,定義函數

使用微積分或者通過配方法,不難算出在下面情況下具有唯一最小值:

幾何學解釋[編輯]

幾何學的角度出發,標準差可以理解為一個從維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子,一組數據中有3個值,。它們可以在3維空間中確定一個。想像一條通過原點的直線。如果這組數據中的3個值都相等,則點就是直線上的一個點,的距離為0,所以標準差也為0。若這3個值不都相等,過點垂線垂直於於點,則的坐標為這3個值的平均數:

運用一些代數知識,不難發現點與點之間的距離(也就是點到直線的距離)是。在維空間中,這個規律同樣適用,把換成就可以了。

外部連結[編輯]