正交

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線性代數

向量 · 向量空間  · 行列式  · 矩陣

線段AB與CD彼此正交

正交線性代數的概念,是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞,只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量內積為0,則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角,則正交可以直觀的理解為垂直。物理中:運動的獨立性,也可以用正交來解釋。

各種正交概念[編輯]

正交子空間[編輯]

若某空間(此空間為內積空間)中兩向量內積為0,則它們正交。類似地,若某空間(內積空間)中的向量v子空間A中的每個向量都正交,那麼這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間AB滿足一者中的每個向量都與另一者正交,那麼它們互為正交子空間。

正交變換[編輯]

正交變換是保持內積線性變換。即是說,對兩個向量,它們的內積等於它們在函數T下的內積:

這也就是說,正交變換保持向量的長度不變,也保持兩個向量之間的角度不變。

歐幾里得空間的例子[編輯]

在二維或三維的歐幾里得空間中,兩個向量正交若且唯若他們的點積為零,即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中,一條直線的正交子空間是一個平面,反之亦然。四維空間中,一條直線的正交子空間則是一個超平面

正交函數集[編輯]

對於兩個函數fg,可以定義如下的內積:

這裡引進一個非負的權函數。這個內積叫做帶權的內積。

兩個函數帶權正交,是指它們帶權的內積為零。

由此可以類似定義帶權

一個函數列{ fi : i = 1, 2, 3, ... }如果滿足:

其中

克羅內克函數, 那麼{ fi}就稱為帶權的正交函數族

進一步地,如果{ fi}滿足:

就稱{ fi}為帶權的標準正交函數族

參見正交多項式

參看[編輯]

外部連結[編輯]