比例

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y 正比於 x。

數學中,比例(英語:ratio)是兩個非零數量 之間的比較關係,記為 ,在計算時則更常寫為 。若兩個變量的關係符合其中一個量是另一個量乘以一個常數),或等價地表達為兩變數之比率為一個常數(稱為比值),則稱兩者是成比例的


如果 可通約的,亦即它們之間存在一個公測量 (common measure) 使得 就相等於兩個整數的比:,那麼 就稱為可通約比 (commensurable ratio), 稱為一個分數,其比值稱為有理數;否則,如果不存在一個公測量, 就稱為不可通約比 (incommensurable ratio),其比值稱為無理數,亦即無法表達為分數的數。


兩個比例之間也可以互相比較。如果兩個比例相等,亦即,它們的比值相同,這個相等關係稱為一個等比關係,例如, 是一個等比關係,其中 。特別是,如果第二項等於第三項,例如 ,那麼 稱為 幾何平均數(geometric mean)[1]

定義[編輯]

若存在一非零常數 k 使

則稱變量 y 與變量 x 成比例(有時也稱為成正比)。當x和y成正比關係,表示當x變為原來k倍時,y也會變為原來的k倍。

y是因變量
x是自變量
k則是變分常數,而k不等於0。如k=0,則不能成立正比關係。也就是說,x、y兩個變量線性函數關係。

該關係通常用 ∝ (統一碼: U+221D) 表示為:

並稱該常數比率

比例常數或比例關係中的比例恆量

在日常生活中,正比這個詞的使用並不嚴格局限於線性函數,一般來說,一個變量隨著另一個變量的增大(縮小)而相應地增大(縮小),近似地滿足線性關係的時候,我們可以說這兩個變量成正比。

用法與歷史[編輯]

現代數學對於比例的用法並沒有嚴格限制,例如,在一個班級裡面,我們可以說:「男孩與女孩的比例是 2 比 1」。然而,在古希臘數學中,由於比例是用來表示倍數關係,所以必須是相同種類的數量才能構成比例,例如,歐幾里得在【幾何原本】第五冊中如此定義比例[2]

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

比例是兩個同類數量之間的大小關係。

阿基米德使用這個定義來敘述均勻運動(uniform motion)的等比關係[3]

在一個均勻運動中,兩段距離的比例相等於它們所需時間的比例。

阿基米德所要描述的,就是勻速運動(或稱「等速運動」),但是古希臘數學並不接受距離時間的比例[4](亦即速率),因為它們是不一樣的數量,所以他沒有辦法直接說:「均勻運動就是每一點上的速率皆相等」。當採用古希臘的比例論來敘述時,必須取兩段距離 以及所需時間 ,均勻運動(勻速運動)就是

例子[編輯]

  • 假設某人以勻運動,則其運動的距離是和運動的時間成正比的,該速度值即是所述的比例常數。
  • 在按比例尺繪製的地圖上,地圖上任意兩點間的距離是和該兩點所代表的實際地點之間的距離成比例的,其比例常數即是繪製該地圖所使用的比例尺係數。

性質[編輯]

因為

等價於

因此可推出,若 yx 具有比例常數為 k 的比例關係,則 x 也與 y 具有比例常數為 1/k 的比例關係。

yx 成比例,則 y 作為 x 的一個函數的函數圖像會是一條穿過原點直線,該直線的斜率等於其比例常數。

比例關係中,位於兩端的兩數之積等於位於中間的兩數之積[編輯]

比例的其他性質[編輯]

若有且有則有

反比關係[編輯]

在上面定義中,我們說有時稱兩個成比例的變量成正比例,這是為了和反比例關係相對應。

如果兩變量中,一個變量和另外一個變量的倒數成正比,或等價地,若這兩變量的乘積是一個常數,則稱這兩個變量是成反比例(或相反地變化)的。從而可繼續推出,若存在一非零常數 k 使

則變量 y 和變量 x 成反比。

反比例關係的概念基本上說明的是這樣一種關係,即當一個變量的值變大時,另一變量的值相應變小,而兩者之積總是保持為一常數(即比例常數)。

舉例來說,運動中的車輛走完一段路程所花費的時間是和這輛車運動的速度成反比的;在地上挖個坑所花的時間也(大致地)和雇來挖坑的人數成反比的。

在笛卡爾坐標平面上,兩個具有反比例關係的變量的圖形是一對雙曲線。該圖線上的每一點的 X 和 Y 坐標值之積總是等於比例常數 (k)。由於 k 非零,所以圖線不會與坐標軸相交

指數比例和對數比例[編輯]

若變量 y 與變量 x指數函數成正比,即:若存在非零常數 k 使

則稱 yx指數比例

類似地,若變量 y 與變量 x對數函數成正比,即:若存在非零常數 k 使

則稱 yx對數比例

確定比例關係的實驗方法[編輯]

用實驗方法確定兩個物理量是否具有正比關係,可採用這樣的辦法,即進行多次測量並在笛卡爾坐標系中將這些測量結果用多個點來表示,而繪製出這些點的分布圖形;如果所有點完全(或接近)地落在一條穿過原點 (0, 0) 的直線上,則這兩個變量(很有可能)具有比例常數等於該直線斜率的正比關係。

參考文獻[編輯]

參見[編輯]