帕松分佈

帕松分佈

橫軸是索引k，發生次數。該函數只定義在k為整數的時候。連接線是只為了指導視覺。 機率質量函數
橫軸是索引k，發生次數。CDF在整數k處不連續，且在其他任何地方都是水平的，因為服從帕松分佈的變量只針對整數值。 累積分佈函數
參數	λ > 0（實數）
支撐集	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
機率质量函數	${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{{-\lambda }}$
累積分佈函數	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}$${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}$，或$e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$$e^{{-\lambda }}\sum _{{i=0}}^{{\lfloor k\rfloor }}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$，或$Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$$Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (對於$k\geq 0$$k\geq 0$，其中$\Gamma (x,y)$$\Gamma (x,y)$是不完全Γ函數，$\lfloor k\rfloor$$\lfloor k\rfloor$是高斯函數，Q是規則化Γ函數)
期望值	$\lambda$$\lambda$
中位數	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
眾數	$\lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor$$\lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor$
變異數	$\lambda$$\lambda$
偏度	$\lambda ^{-1/2}$$\lambda ^{{-1/2}}$
峰度	$\lambda ^{-1}$$\lambda ^{{-1}}$
信息熵	$\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$$\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (for large $\lambda$$\lambda$) ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ $\qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$$\qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$
動差生成函數	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$$\exp(\lambda (e^{{t}}-1))$
特性函數	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$$\exp(\lambda (e^{{it}}-1))$

Poisson分佈（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution），譯名有泊松分佈、普阿松分佈、帕松分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、波以松分佈、卜氏分配等，又稱帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分佈，由法國數學家西莫恩·德尼·帕松（Siméon-Denis Poisson）在1838年時發表。

帕松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數等等。

帕松分佈的機率質量函數為：

$P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

帕松分佈的參數λ是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。

記號

若${\mathit {X}}$${\mathit {X}}$服從參數為${\mathit {\lambda }}$$\mathit{\lambda}$的帕松分佈，記為$X\sim \pi (\lambda )$$X \sim \pi(\lambda)$，或記為$X\sim P(\lambda )$$X \sim P(\lambda)$.

性質

1、服從帕松分佈的隨機變量，其數學期望與變異數相等，同為參數λ：E(X)=V(X)=λ

2、兩個獨立且服從帕松分佈的隨機變量，其和仍然服從帕松分佈。更精確地說，若X ~ Poisson(λ1)且Y ~ Poisson(λ2)，則X+Y ~Poisson(λ1+λ2)。

3、其矩母函數為：

$M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tX}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}$$M_{X}(t)=E[e^{{tX}}]=\sum _{{x=0}}^{\infty }e^{{tX}}{\frac {e^{{-\lambda }}\lambda ^{x}}{x!}}=e^{{-\lambda }}\sum _{{x=0}}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{{\lambda }(e^{t}-1)}}$

帕松分佈的來源（帕松小數定律）

在二項分佈的伯努利試驗中，如果試驗次數n很大，二項分佈的機率p很小，且乘積λ= np比較適中，則事件出現的次數的機率可以用帕松分佈來逼近。事實上，二項分佈可以看作帕松分佈在離散時間上的對應物。

證明如下。首先，回顧e的定義：

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },$$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},$

二項分佈的定義：

$P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$$P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。

如果令$p=\lambda /n$$p = \lambda/n$, $n$$n$趨於無窮時$P$$P$的極限：

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{align}$

最大似然估計

給定n個樣本值k_i，希望得到從中推測出總體的帕松分佈參數λ的估計。為計算最大似然估計值，列出對數似然函數：

${\begin{aligned}L(\lambda )&=\log \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\log \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\log(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\log(k_{i}!).\end{aligned}}$$\begin{align} L(\lambda) & = \log \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \log\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \log(\lambda) - \sum_{i=1}^n \log(k_i!). \end{align}$

對函數L取相對於λ的導數並令其等於零：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!$

解得λ從而得到一個駐點（stationary point）：

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!$$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!$

檢查函數L的二階導數，發現對所有的λ與k_i大於零的情況二階導數都為負。因此求得的駐點是對數似然函數L的極大值點：

${\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i$

例子

對某公共汽車站的客流做調查，統計了某天上午10:30到11:47來到候車的乘客情況。假定來到候車的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相獨立發生的。觀察每20秒區間來到候車的乘客批次，共觀察77分鐘*3=231次，共得到230個觀察記錄。其中來到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的觀察記錄分別是100次、81次、34次、9次、6次。使用極大似真估計（MLE），得到$\lambda$$\lambda$的估計為（81*1+34*2+9*3+6*4）/231=0.8658。

生成帕松分佈的隨機變量

一個用來生成隨機帕松分佈的數字（偽隨機數抽樣）的簡單算法，已經由高德納給出（見下文參考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
    while p > L.
    return k − 1.

儘管簡單，但複雜度是線性的，在返回的值k，平均是λ。還有許多其他算法來克服這一點。有些人由Ahrens和Dieter給出，請參閱下面的參考資料。同樣，對於較大的λ值，e^-λ可能導致數值穩定性問題。對於較大λ值的一種解決方案是拒絕採樣，另一種是採用帕松分佈的高斯近似。

對於很小的λ值，逆變換取樣簡單而且高效，每個樣本只需要一個均勻隨機數u。直到有超過u的樣本，才需要檢查累積機率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:
    init:
         Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    do:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    while u > s.
    return x.

參見

• 帕松過程
• 機率論
• 帕松回歸

參考文獻

• Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, 1: 21–28. 
• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions. Computing. 1974, 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108. 
• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Generation of Poisson Deviates. ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997. 
• Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers. The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6. SIAM Review. 1988, 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059. 
• Donald E. Knuth. Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming, Volume 2. Addison Wesley. 1969.