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牛頓法

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牛頓法(英語:Newton's method)又稱為牛頓-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一種在實數體和複數體上近似求解方程式的方法。方法使用函數泰勒級數的前面幾項來尋找方程式的根。

起源[編輯]

牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛頓去世後於1736年公開發表)中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法說明[編輯]

藍線表示方程式而紅線表示切線。可以看出更靠近所要求的根

首先,選擇一個接近函數零點,計算相應的和切線斜率(這裡表示函數導數)。然後我們計算穿過點並且斜率為的直線和軸的交點的坐標,也就是求如下方程式的解:

我們將新求得的點的坐標命名為,通常會比更接近方程式的解。因此我們現在可以利用開始下一輪疊代。疊代公式可化簡為如下所示:

已有證明牛頓疊代法的二次收斂[1]必須滿足以下條件:
; 對於所有,其中為區間[αr, α + r],且在區間其中內,即 的;
對於所有是連續的;
足夠接近根 α

其它例子[編輯]

第一個例子[編輯]

求方程式的根。令,兩邊求導,得。由於,則,即,可知方程式的根位於之間。我們從開始。

第二個例子[編輯]

牛頓法亦可發揮與泰勒展開式,對於函式展開的功能。

次方根。

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛頓法來疊代:

(或

應用[編輯]

求解最值問題[編輯]

牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為

求反曲點的公式以此類推

註解[編輯]

外部連結[編輯]