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疊代法

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疊代法英語:Iterative Method),在計算數學中,疊代是通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題(一般是解方程或者方程組)的數學過程,為實現這一過程所使用的方法統稱。

跟疊代法相對應的是直接法(或者稱為一次解法),即一次性解決問題,例如通過開方解決方程。一般如果可能,直接解法總是優先考慮的。但當遇到複雜問題時,特別是在未知量很多,方程為非線性時,我們無法找到直接解法(例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解,參見阿貝爾定理),這時候或許可以通過疊代法尋求方程(組)的近似解。

最常見的疊代法是牛頓法。其他還包括最速下降法共軛疊代法變尺度疊代法最小平方法線性規劃非線性規劃單純型法懲罰函數法斜率投影法遺傳算法模擬退火等等。

線性系統[編輯]

求解線性方程系統的疊代方法主要分為兩類,分別是定常疊代法和Krylov子空間法。

定常疊代法[編輯]

這種方法易於推導,方便實現和分析,但只能保證某些特定形式矩陣求解的收斂性。定常疊代法的例子包括雅可比法高斯-賽德爾疊代,以及逐次超鬆弛疊代法(SOR)。線性定常疊代法又稱為鬆弛法

Krylov子空間法[編輯]

通過在子空間上最小化餘量來得到近似解。Krylov子空間法的原型是是共軛梯度法(CG),其它方法還包括廣義最小殘量法(GMRES)和雙共軛梯度方法(BiCG)。

Krylov子空間法的收斂性[編輯]

參見[編輯]

外部連結[編輯]