皮亞諾公理

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皮亞諾公理(英語:Peano axioms義大利語Assiomi di Peano),也稱皮亞諾公設,是義大利數學家朱塞佩·皮亞諾提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統。[1]

內容[編輯]

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

  1. 0是自然數
  2. 每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a' a' 也是自然數;
  3. 對於每個自然數bcb=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;
  4. 0不是任何自然數的後繼數;
  5. 任意關於自然數的命題,如果證明:它對自然數0是真的,且假定它對自然數a為真時,可以證明對a' 也真。那麼,命題對所有自然數都真。

其中,一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數,例如,0的後繼數是1,1的後繼數是2等等;公理5保證了數學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理。

若不將0視作自然數,則公理1,4,5中的「0」要換成「1」。

更正式的定義如下:

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f):

  • X是一集合,xX中一元素,fX到自身的映射。
  • x不在f的值域內。(對應上面的公理4)
  • f為一單射。(對應上面的公理3)
  • AX的子集並滿足:
    • x屬於A,且
    • a屬於A,則fa) 亦屬於A
A = X

正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:

戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)

皮亞諾算術[編輯]

皮亞諾算術(PA)的公理:

  • ,對於在 PA 的語言中的任何公式

參考文獻[編輯]

  1. ^ Giuseppe Peano. Arithmetices principia: nova methodo. Harvard University. 1889. 

參見[編輯]