皮亞諾公理

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皮亞諾公理(Peano axioms),也稱皮亞諾公設,是義大利數學家皮亞諾提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統。

內容[編輯]

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

  1. 1是自然數;
  2. 每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a'a' 也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);
  3. 對於每個自然數bcb=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;
  4. 1不是任何自然數的後繼數;
  5. 任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n' 也真,那麼,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)

若將0也視作自然數,則公理中的1要換成0。

更正式的定義如下:

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f):

  • X是一集合,xX中一元素,fX到自身的映射。
  • x不在f的值域內。(對應上面的公理4)
  • f為一單射。(對應上面的公理3)
  • AX的子集並滿足:
    • x屬於A,且
    • a屬於A,則fa) 亦屬於A
A = X

正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:

戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)

  • (e ∈ S)
  • (∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )
  • (∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)
  • (∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )
  • (∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )

分歧[編輯]

關於皮亞諾公理的內容有不同版本。其中若將零視為自然數,第一個公理分別被闡述為:

  • 1是一個自然數[1]
  • 0是一個數字[2]
  • 0是一個自然數[3]
  • 存在一個自然數0。和「0是一個自然數」等價。

皮亞諾算術[編輯]

皮亞諾算術(PA)的公理:

  • ,對於在 PA 的語言中的任何公式

參考文獻[編輯]

  1. ^ http://www.mscf.uky.edu/~lee/ma502/notes2/node7.html聲稱來自Edmund Landau的著作 Foundations of Analysis,1951年出版。
  2. ^ http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html聲稱來自Wolfram, S.的著作 A New Kind of Science, 2002年出版
  3. ^ http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html

參見[編輯]