# 向量

(重新導向自 矢量)

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$

## 不同學科中的向量

### 物理學與工程學

#### 固定向量

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$的位置可自由移動

## 表示方法

### 代數表示

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e_{1}}}+...+a_{n}{\vec {e_{n}}}=(a_{1}{\vec {e_{1}}},a_{2}{\vec {e_{2}}},...,a_{n}{\vec {e_{n}}})}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\vec {a}}&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix}}\\{\vec {a}}&=&[a\ b\ c].\end{array}}}$

${\displaystyle (a,b,c)=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}}$

## 特殊向量

### 零向量

1. 零向量依舊具有方向性，但方向不定。[3]。因此，零向量與任一向量平行。[4]
2. 零向量不等於數量0，它們是兩種性質完全不同的對象，即${\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}$

## 向量的性質

### 夾角

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$具有夾角${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|}}}$

## 向量運算

### 加法與減法

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}+(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}+(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|}$

### 向量與積

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v_{1}&=&w_{1}\\v_{2}&=&w_{2}\\\vdots \ &&\vdots \\v_{n}&=&w_{n}\end{array}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {e}}_{1}+(v_{2}+w_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(v_{n}+w_{n}){\vec {e}}_{n}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=v_{1}\cdot w_{1}+v_{2}\cdot w_{2}+\cdots +v_{n}\cdot w_{n}}$[5]

${\displaystyle k\cdot {\vec {v}}=(k\cdot v_{1}){\vec {e}}_{1}+(k\cdot v_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(k\cdot v_{n}){\vec {e}}_{n}}$[5]

### 內積

${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$ 為兩個任意向量，它們的夾角為 ${\displaystyle \theta }$，則他們的內積為：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }}$[5]

${\displaystyle {\vec {a}}}$ 向量在 ${\displaystyle {\vec {b}}}$ 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ 向量長度的乘積。 內積被廣泛應用於物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 ${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$

### 向量積

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

### 混合積

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

## 關於向量運算的定理

### 向量與定比分點、中點公式

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$，則：

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}\right)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$

${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}$

#### 附：平面幾何中定比分點定理的證明

${\displaystyle {\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{0}}}=n\Rightarrow x_{0}={\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}}}$
${\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{y_{2}-y_{0}}}=n\Rightarrow y_{0}={\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}}$

## 參考文獻

1. ^ 同濟大學數學系. 《高等數學 第七版 下冊》. 高等教育出版社. 2014. ISBN 978-7-04-039662-1.，第1頁
2. ^ 許以超. 《代數學引論》. 上海科學技術出版社. 1966.，第29至30頁
3. 俞正光，李永樂. 《線性代數與解析幾何》. 清華大學出版社. 1998. ISBN 978-7-302-02854-3.，第112至116頁
4. ^ 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編. 《數學必修4 A版》. 人民教育出版社. 2007. ISBN 978-7-107-20334-3.，第76頁
5. 同濟大學應用數學系編. 《線性代數（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第113頁
6. ^ 同濟大學應用數學系編. 《線性代數（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第82頁
7. ^ 同濟大學應用數學系編. 《線性代數（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第144至145頁