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矩陣乘法

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線性代數

向量 · 向量空間  · 行列式  · 矩陣

「橫向的一條線(row)」的各地常用別名
中國大陸
港臺
「縱向的一條線(column)」的各地常用別名
中國大陸
港臺

數學中,矩陣乘法(英語:matrix multiplication)是一種根據兩個矩陣得到第三個矩陣的二元運算,第三個矩陣即前兩者的乘積,稱為矩陣積(英語:matrix product)。設的矩陣,的矩陣,則它們的矩陣積的矩陣。中每一行的個元素都與中對應列的個元素對應相乘,這些乘積的和就是中的一個元素。

矩陣可以用來表示線性映射,矩陣積則可以用來表示線性映射的複合。因此,矩陣乘法是線性代數的基礎工具,不僅在數學中有大量應用,在應用數學物理學工程學等領域也有廣泛使用。[1][2]

一般矩陣乘積[編輯]

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的行數(column,中國大陸作列數)和第二個矩陣的列數(row,中國大陸作行數)相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時,指的便是一般矩陣乘積。若矩陣,矩陣,則他們的乘積(有時記做)會是一個矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出:

以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解,運算結果相等:

由定義直接計算[編輯]

Matrix multiplication diagram.PNG

左邊的圖表示出要如何計算元素,當是個矩陣和B是個矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對,把每一對中的兩個元素相乘,再把這些乘積加總起來,最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

向量方法[編輯]

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考:把向量和各係數相乘後相加起來。設是兩個給定如下的矩陣:

舉個例子來說:

左面矩陣的列為為係數表,右邊矩陣為向量表。例如,第一行是[1 0 2],因此將1乘上第一個向量,0乘上第二個向量,2則乘上第三個向量。

向量表方法[編輯]

一般矩陣乘積也可以想為是行向量列向量內積。若為給定如下的矩陣:

其中

是由所有元素所組成的向量,是由所有元素所組成的向量,以此類推。
是由所有元素所組成的向量,是由所有元素所組成的向量,以此類推。

性質[編輯]

矩陣乘法是不可交換的(即),除了一些較特別的情況。很清楚可以知道,不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果,而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同,也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的,但行列式總會是一樣的(當是同樣大小的方陣時)。其解釋在行列式條目內。

可以被解釋為線性算子,其矩陣乘積會對應為兩個線性算子的複合函數,其中B先作用。

在MS Excel中做矩陣乘法[編輯]

  1. 先輸入要相乘的兩個矩陣,大小分別為(注意:矩陣1的row數必須等於矩陣2的column數,矩陣乘法才有定義);
  2. 用滑鼠選取大小為的空白格矩陣;
  3. 選取「MMULT函數」;
  4. 在函數引數視窗的array 1選取第一個矩陣,array 2選取第二個矩陣;
  5. 不要按「確定」,而是按Ctrl+⇧ Shift+↵ Enter這三個鍵的組合來關閉函數引數視窗。

以上步驟可參見MMULT函數引數視窗裡的「函數說明」。

純量乘積[編輯]

矩陣和純量的純量乘積的矩陣大小和一樣,的各元素定義如下:

若我們考慮於一個的矩陣時,上述的乘積有時會稱做左乘積,而右乘積的則定義為

當環是可交換時,例如實數體或複數體,這兩個乘積是相同的。但無論如何,若環是不可交換的話,如四元數,他們可能會是不同的。例如,

阿達馬乘積[編輯]

給定兩個相同維度的矩陣,我們有阿達馬乘積,或稱做分素乘積element-wise, entrywise product)。兩個矩陣阿達馬乘積標記為,為一定義為 矩陣。例如,

需注意的是,阿達馬乘積是克羅內克乘積的子矩陣

克羅內克乘積[編輯]

給定任兩個矩陣,我們可以得到兩個矩陣的直積,或稱為克羅內克乘積,其定義如下

是一矩陣和是一矩陣時,會是一矩陣,而且此一乘積也是不可交換的。

舉個例子,

.

分別表示兩個線性算子便為其映射的張量乘積.

共同性質[編輯]

上述三種乘積都符合結合律

以及分配律

而且和純量乘積相容:

注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換(即純量體為一可交換環)時會相同。

另見[編輯]

外部連結[編輯]

參考[編輯]

  1. ^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. Encyclopaedia of Physics 2nd. VHC publishers. 1991. ISBN 3-527-26954-1 (英語). 
  2. ^ Parker, C. B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. 1994. ISBN 0-07-051400-3 (英語). 

其它參考文獻包括:

  • Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
  • Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
  • Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
  • Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.