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算數基本定理

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算術基本定理,又稱為正整數的唯一分解定理,即:每個大於1的自然數均可寫為質數的,而且這些素因子按大小排列之後,寫法僅有一種方式。例如:

算術基本定理的內容由兩部分構成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考慮排列的順序,正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理,也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

證明[編輯]

算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說,歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題:若質數,則不是 ,就是。然而,在歐幾里得的時代,並沒有發展出冪運算和指數的寫法,甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的,所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

必然性[編輯]

反證法:假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積,把最小的那個稱為n。

自然數可以根據其可除性(是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積)分成3類:質數、合數和1。首先,按照定義,n 大於1。其次,n 不是質數,因為質數p可以寫成質數乘積:p=p,這與假設不相符合。因此n只能是合數,但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設,其中ab 都是介於1和n 之間的自然數,因此,按照n 的定義,ab 都可以寫成質數的乘積。從而 也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性[編輯]

引理:若質數,則不是 ,就是

引理的證明:若 則證明完畢。若,那麼兩者的最大公約數為1。根據裴蜀定理,存在 使得。於是。 由於,上式右邊兩項都可以被p整除。所以

再用反證法:假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積,那麼假設n 是最小的一個。

首先n 不是質數。將n 用兩種方法寫出: 。根據引理,質數 ,所以 中有一個能被整除,不妨設為。但也是質數,因此 。所以,比n小的正整數也可以寫成 。這與n 的最小性矛盾!

因此唯一性得證。

相關[編輯]

在一般的數域中,並不存在相應的定理;事實上,在虛二次域 之中,只有少數幾個能滿足,最大的一個 。例如, 可以以兩種方式在 中表成整數乘積:。同樣的,在分圓整數中一般也不存在唯一分解性,而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積,高斯則在複整數 中得出並証明,只要不計四個可逆元素 之作用,那麼這個唯一分解定理在 也成立。高斯還指出,包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯類數[編輯]

對於二次方程:,它的根可以表示為:

因為負數不能開平方,的符號就很重要,如果為正,有兩個根;如果為0,只有一個根;如果為負,沒有實根。歐拉的素數公式: 兩個複數解為:

哪個d值使你得到唯一分解定理? d=1,2,3皆可得到定理,但當d=5時不能。因為在這個數系中6這個數有兩種形式的因子分解(分解至不可分約的情形)。 6=2×3;。在高斯時代,已知有9個d使得所產生的數有唯一因子分解(a,b如上面指出那樣取值)。 高斯認為d的數量不會超過10個,但是沒有人能夠證明。 1952年,業餘數學家,退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納(Kurt Heegner)發表了他的證明,聲稱第10個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之後才知道這個定理:麻省理工學院的斯塔克(Harold Stark)和劍橋大學的阿蘭貝克 (AlanBaker)獨立用不同方法證明了第10個d值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作,發現他的證明是正確的。 為了紀念長期被忽視的希格內爾,上述的9個數被稱為黑格納數,一些曲線上的點被命名為希格內爾點。 參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。

外部連結[編輯]