舒爾正交關係

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舒爾正交關係Schur orthogonality relations)描述了有限表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群,特別是緊李群,比如旋轉群 SO(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。

有限群[編輯]

是一個 |G| 階(即 G 有 |G| 個元素)有限群 的一個不可約矩陣表示 的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示,我們假設 是酉的:

這裡 是表示 的(有限)維數[1]

正交關係,只對不可約表示的矩陣元素成立,是

這裡 複共軛,求和遍及 G 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示 ,則克羅內克函數 是單位;如果 不等價則為零。其他兩個克羅內克函數則要求行與列的指標必須相等()才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理

每個群有一個單位表示(所有群元素映為實數 1),這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

,此式對任何不等於單位表示的不可約表示 成立。

例子[編輯]

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階群,通常記作 對稱群)。這個群同構於點群 ,由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示(l = 2)。在 情形,通常將這個不可約表示利用楊氏表楊氏矩陣)記作 而在 情形通常寫成 。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成,每個代表一個群元素[2]

元素 (1,1) 的正規化為:

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性:

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立,如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零,因為給定表示與恆等表示的正交性。

直接推論[編輯]

矩陣的是對角矩陣元素之和,

.

所有跡的集合 是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成

.

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式:

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的(這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量)。以及

這幫助我們確認不可約表示 在具有特徵標 的可約表示 中包含的次數。

例如,如果

這個群的階是

在給定「可約」表示 中包含的次數是

關於群特徵表參見特徵標理論

緊群[編輯]

有限群的正交關係推廣為緊群(包含緊李群,比如 SO(3))本質上是簡單的:只要將在群上的求和換成在群上的積分。

每個緊群 有惟一一個雙不變哈爾測度,使得群的體積是 1。將這個測度記成 。設 的不可約表示的一個完備集合,設 是表示 矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分 1) 如果 則:

2)如果 是表示空間 的一個正交規範基,則:

這裡 的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

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一個三參數群的例子是矩陣群 SO(3),有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的參數化是利用歐拉角。界限是 以及

體積元素 的計算不僅取決於參數的選取,也取決於最終結果,即加權函數(測度) 的解析形式。

例如,SO(3) 的歐拉角參數化給出權重 ,而 n, ψ 參數化給出權重t ,其中

可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的:

簡記成

正交關係具有形式

群的體積是

我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣Wigner D-matrix,它們的維數是 。故

它們滿足

腳註[編輯]

  1. ^ 的有限性是由於一個有限群 G 的不可約表示包含於正則表示
  2. ^ 這種選擇不是惟一的,這個矩陣的任意正交相似變換給出一個等價的不可約表示。

參考文獻[編輯]

任何以物理或化學為目的的群表示論書籍中都會提到正交關係。下面更高等的書籍給出了證明:

  • M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
  • W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
  • J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).