階梯形矩陣

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線性代數中,一個矩陣如果符合下列條件的話,我們稱之為列階梯形矩陣英語:Row Echelon Form):

  • 所有非零列(矩陣的列至少有一個非零元素)在所有全零列的上面。即全零列都在矩陣的底部。
  • 非零列的首項係數(leading coefficient),也稱作主元,即最左邊的首個非零元素,嚴格地比上面列的首項係數更靠右(某些版本會要求非零列的首項係數必須是1[1])。
  • 首項係數所在行,在該首項係數下面的元素都是零(前兩條的推論)。

這個3×4矩陣是列階梯形矩陣:

有時候,增廣矩陣右邊的直線也會省略。

化簡後的列階梯形矩陣[編輯]

化簡後的列階梯形矩陣reduced row echelon form),也稱作列規範形矩陣row canonical form),如果滿足額外的條件:

  • 每個首項係數是1,且是其所在行的唯一的非零元素。例如:

注意,這並不意味著化簡後的列階梯形矩陣的左部總是單位陣。例如,如下的矩陣是化簡後的列階梯形矩陣:

因為第3行並不包含任何列的首項係數。

矩陣變換到列階梯形[編輯]

通過有限步的行初等變換,任何矩陣可以變換為列階梯形。由於行初等變換保持了矩陣的行空間,因此列階梯形矩陣的列空間與變換前的原矩陣的列空間相同。

列階梯形的結果並不是唯一的。例如,列階梯形乘以一個純量係數仍然是列階梯形。但是,可以證明一個矩陣的化簡後的列階梯形是唯一的。

線性方程組[編輯]

一個線性方程組列階梯形,如果其增廣矩陣是列階梯形。類似的,一個線性方程組是簡化後的列階梯形或'規範形,如果其增廣矩陣是化簡後的列階梯形。

一些示例[編輯]

定義:

例子:

錯誤示例:

註:

  • 矩陣1:第二行的第一非零項1的下方的行項不全為零(有非零項4),見定義第二條,所以不是階梯型矩陣。
  • 矩陣2:全為零的列應該在非全為零列的下方,見定義第三條,所以不是階梯型矩陣。
  • 矩陣3:k+1列比k列的第一個非零項之前的0少,見定義第三條,所以不是階梯型矩陣。

簡化後的行階梯形矩陣的例子:

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290 
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