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整數

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各種各樣的
基本

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複數
高斯整數

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整數
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單位分數
二進分數
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延伸

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四元數
共四元數
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超數
上超實數

超複數
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複四元數
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超實數
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其他

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質數
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超限數
基數
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規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

群論
Rubik's cube.svg

整數,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的的統稱,包括負整數(0)與正整數。和自然數一樣,整數也是一個可數無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z,源於德語單詞Zahlen(意為「」)的首字母

代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整數與負整數[編輯]

整數是一個集合,通常可以分為正整數、零(0)和負整數。正整數(符號:Z+)即大於0的整數,是正數與整數的交集。而負整數(符號:Z-)即小於0的整數,是負數與整數的交集。和整數一樣,兩者都是可數無限集合。除正整數和負整數外,通常將0與正整數統稱為非負整數(符號:Z+0),而將0與負整數統稱為非正整數(符號:Z-0)。在數論自然數通常被視為與正整數等同,即1,2,3等,但在集合論計算機科學中自然數則通常是指非負整數,即0,1,2等。

代數性質[編輯]

下表給出任何整數加法乘法的基本性質。

性質 加法 乘法
封閉性   是整數    是整數
結合律
交換律
存在單位元素
存在反元素 整數集中,只有1-1關於乘法存在整數反元素,其餘整數關於乘法的反元素,都不為整數。
分配律

全體整數關於加法乘法形成一個環。環論中的整環無零因子環唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

Z是一個加法循環群,因為任何整數都是若干個1或 -1的和。1和 -1是Z僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與(Z,+)同構

有序性質[編輯]

Z是一個全序集,沒有上界和下界。Z的序列如下:

...< −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一個整數大於零則為正,小於零則為負。零既非正也非負。

整數的序列在代數運算下是可以比較的,表示如下:

  1. ,則
  2. ,則;若,則.

整數環是一個歐幾里德域

電腦中的整數[編輯]

Z的基數[編輯]

Z基數(或)是0,與N相同。這可以從Z建立一雙射函數N來證明,亦即該函數要同時滿足單射滿射的條件,例如:

當該函數的定義域僅限於Z,則證明ZN可建立一一對應的關係,即兩集等勢

參見[編輯]