餘因子矩陣

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線性代數
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

線性代數中,餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構,餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式

定義[編輯]

對一個 矩陣 ,在 子行列式餘子式 定義為刪掉 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 ,稱為 餘因子代數餘子式)。矩陣 稱作 餘因子矩陣餘子矩陣)。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣,記為

範例[編輯]

考慮三階方陣

今將計算餘因子 。子行列式 是下述矩陣(在 中去掉第2橫列與第3縱行)之行列式:

給出

根據定義得到

餘因子分解[編輯]

對一 矩陣:

其行列式 可以用餘因子表示:

(對第 j 縱行的餘因子分解)
(對第 i 橫列的餘因子分解)

古典伴隨矩陣[編輯]

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」,它與逆矩陣的計算有極大的關係。


將餘因子矩陣

轉置之後,會得到「古典伴隨矩陣」:

克萊姆法則[編輯]

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式:

時, 的逆矩陣由下式給出:

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻[編輯]

  • Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結[編輯]