馬克士威-波茲曼分布 （英語：Maxwell–Boltzmann distribution ）是一個描述一定溫度下微觀粒子運動速度的機率分布 ，在物理學 和化學 中有應用。最常見的應用是統計力學 的領域。任何（宏觀）物理系統的溫度都是組成該系統的分子 和原子 的運動 的結果。這些粒子有一個不同速度的範圍，而任何單個粒子的速度 都因與其它粒子的碰撞 而不斷變化。然而，對於大量粒子來說，處於一個特定的速度範圍的粒子所占的比例卻幾乎不變，如果系統處於或接近處於平衡。馬克士威-波茲曼分布具體說明了這個比例，對於任何速度範圍，作為系統的溫度的函數 。它以詹姆斯·馬克士威 和路德維希·波茲曼 命名。
這個分布可以視為一個三維向量 的大小，它的分量是獨立和常態分布 的，其期望值為0，標準差 為
a
{\displaystyle a}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
X
∼
N
(
0
,
a
2
)
{\displaystyle \ X\sim N(0,a^{2})}
Z
=
X
1
2
+
X
2
2
+
X
3
2
{\displaystyle Z={\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}}}
就呈馬克士威-波茲曼分布，其參數為
a
{\displaystyle a}
馬克士威-波茲曼分布形成了分子運動論 的基礎，它解釋了許多基本的氣體 性質，包括壓力 和擴散 。馬克士威-波茲曼分布通常指氣體中分子的速率的分布，但它還可以指分子的速度、動量，以及動量的大小的分布，每一個都有不同的機率分布函數，而它們都是聯繫在一起的。
馬克士威-波茲曼分布可以用統計力學 來推導（參見馬克士威-波茲曼統計 ）。它對應於由大量不交互作用的粒子所組成、以碰撞為主的系統中最有可能的速率分布，其中量子效應可以忽略。由於氣體中分子的交互作用一般都是相當小的，因此馬克士威-波茲曼分布提供了氣體狀態的非常好的近似。
在許多情況下（例如非彈性碰撞 ），這些條件不適用。例如，在電離層 和空間電漿 的物理學中，特別對電子而言，重組和碰撞激發（也就是輻射過程）是重要的。如果在這個情況下應用馬克士威-波茲曼分布，就會得到錯誤的結果。但如果系統在恆溫槽中且處於熱力學平衡 ，即使發生非彈性碰撞，其以熱 的形式失去的動能仍然可由恆溫槽再以熱的形式補償回來，使得馬克士威-波茲曼分布依然適用。另外一個不適用馬克士威-波茲曼分布的情況，就是當氣體的量子熱波長 非相對論 的假設，因此馬克士威-波茲曼分布不能做出分子的速度大於光速 的機率為零的預言。
馬克士威 最初的推導假設了三個方向上的表現都相同，但後來在波茲曼 的一個推導中利用分子運動論 去掉了這個假設。現在，馬克士威-波茲曼分布可以輕易地從能量的波茲曼分布 推出：
N
i
N
=
g
i
exp
(
−
E
i
/
k
T
)
∑
j
g
j
exp
(
−
E
j
/
k
T
)
(
1
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)}
其中N i T 時，處於狀態 i 的粒子數目，具有能量 E i gi ，N 是系統中的總粒子數目，k 是波茲曼常數 。（注意有時在上面的方程式中不寫出簡併度g i i 將指定了一個單態，而不是具有相同能量E i g i 配分函數 。
下列所述的推導，與詹姆斯·克拉克·馬克士威 描述的推導和後來由路德維希·波茲曼 描述的具有較少假設的推導都有很大不同。它與波茲曼在1877年的探討比較接近。
對於「理想氣體」（由基態的非交互作用原子所組成）的情況，所有能量都是動能的形式。宏觀粒子的動能與動量的關係為：
E
=
p
2
2
m
(
2
)
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad \qquad (2)}
其中p 2 是動量向量p = [p x p y p z
N
i
N
=
1
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
(
3
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}
其中Z 是配分函數 ，對應於方程式1中的分母。在這裡，m 是氣體的分子質量，T 是熱力學溫度，k 是波茲曼常數 。這個N i N 的分布與找到具有這些動量分量值的分子的機率密度函數 f p 正比 ，因此：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
c
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
4
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}
歸一化常數 c 可以通過認識到分子具有任何 動量的機率必須為1來決定。因此，方程式4在所有p x p y p z
可以證明：
c
=
Z
(
2
π
m
k
T
)
3
/
2
.
(
5
)
{\displaystyle c={\frac {Z}{(2\pi mkT)^{3/2}}}.\qquad \qquad (5)}
把方程式5代入方程式4，得出：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
(
1
2
π
m
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
6
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}
可以看出，這個分布是三個獨立、呈常態分布 的變量
p
x
{\displaystyle p_{x}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
m
k
T
{\displaystyle mkT}
a
=
m
k
T
{\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}
利用p ² = 2mE ，以及動量的大小的分布函數（參見以下速率分布的章節），我們便得出能量的分布：
f
E
d
E
=
f
p
(
d
p
d
E
)
d
E
=
2
E
π
(
k
T
)
3
exp
[
−
E
k
T
]
d
E
.
(
7
)
{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}
由於能量與三個呈常態分布的動量分量的平方和成正比，因此這個分布是具有三個自由度的卡方分布 ：
f
E
(
E
)
d
E
=
χ
2
(
x
;
3
)
d
x
{\displaystyle f_{E}(E)\,dE=\chi ^{2}(x;3)\,dx}
其中
x
=
2
E
k
T
.
{\displaystyle x={\frac {2E}{kT}}.\,}
馬克士威-波茲曼分布還可以通過把氣體視為量子氣體 來獲得。
認識到速度的機率密度函數f v
f
v
d
3
v
=
f
p
(
d
p
d
v
)
3
d
3
v
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}
並利用p = mv ，我們便得到：
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
(
m
2
π
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
m
(
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
)
2
k
T
]
,
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }
這就是馬克士威-波茲曼速度分布。在速度相空間 （v x v y v z dv x dv y dv z v = [v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
d
v
x
d
v
y
d
v
z
.
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}
像動量一樣，這個分布是三個獨立、呈常態分布 的變量
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
y
{\displaystyle v_{y}}
v
z
{\displaystyle v_{z}}
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
f
v
(
v
x
)
f
v
(
v
y
)
f
v
(
v
z
)
{\displaystyle f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}
其中一個方向上的分布為：
f
v
(
v
i
)
=
m
2
π
k
T
exp
[
−
m
v
i
2
2
k
T
]
.
{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }
這個分布具有常態分布 的形式，其方差為
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
一些惰性氣體 在298.15 K（25 °C）的溫度下的速率分布函數。y軸的單位為s/m，因此任何一段曲線下的面積（它表示速度處於那個範圍的機率）都是無因次的。 通常，我們更感興趣於分子的速率，而不是它們的速度分量。馬克士威-波茲曼速率分布為：
f
(
v
)
=
2
π
(
m
k
T
)
3
v
2
exp
(
−
m
v
2
2
k
T
)
{\displaystyle f(v)={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3}}}\,v^{2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)}
其中速率v 定義為：
v
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
注意：在這個方程式中，f(v)的單位是機率每速率，或僅僅是速率的倒數，如右圖那樣。
由於速率是三個獨立、呈常態分布的速度分量的平方之和的平方根，因此這個分布是馬克士威-波茲曼分布。
我們通常更感興趣於粒子的平均速率，而不是它們的實際分布。平均速率、最概然速率（眾數），以及均方根速率可以從馬克士威-波茲曼分布的性質獲得。
雖然以上的方程式給出了速率的分布，或具有特定速率的分子的比例，我們通常更感興趣於粒子的平均速率，而不是它們的實際分布。
最概然速率v p f (v )的最大值或眾數 。要把它求出來，我們計算df /dv ，依極值法，將其設為零，然後對v 求解：
d
f
(
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}
得出：
v
p
=
2
k
T
m
=
2
R
T
M
{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}
其中R 是氣體常數 ，M = NA m 是物質的莫耳質量 。
對於室溫 （300K ）下的氮氣（空氣 的主要成分），可得
v
p
=
422
{\displaystyle v_{p}=422}
平均速率是速率分布的數學期望 ：
⟨
v
⟩
=
∫
0
∞
v
f
(
v
)
d
v
=
8
k
T
π
m
=
8
R
T
π
M
{\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}}
近似得：
⟨
v
⟩
=
8
R
T
π
M
≈
1.6
K
b
T
m
≈
1.6
R
T
M
{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {K_{b}T}{m}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {RT}{M}}}}
方均根 速率v rms 是速率的平方的平均值的平方根：
v
r
m
s
=
(
∫
0
∞
v
2
f
(
v
)
d
v
)
1
/
2
=
3
k
T
m
=
3
R
T
M
{\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}
它們具有以下的關係：
v
p
:
v
a
v
e
r
a
g
e
:
v
r
m
s
≈
1
:
1.128
:
1.224
{\displaystyle v_{p}:v_{average}:v_{\mathrm {rms} }\approx 1:1.128:1.224}
[ 1] 馬克士威-波茲曼分布也可直接由氣體速率均向性以及分離變數的假設以微分方程式計算得到指數函數之形式，微分方程式解的未定數項則由粒子總數以及方均根速率和波茲曼常數的氣體動力論關係兩者聯立得解.詳見外部連結.
電子氣體在不同溫度下的Maxwell-Juttner速率分布 (相對論馬克士威分布) 當氣體越來越熱時，kT 趨於或超過mc2 ，這個相對論馬克士威氣體的速率分布由Maxwell-Juttner分布給出：[ 2]
f
(
γ
)
=
γ
2
β
θ
K
2
(
1
/
θ
)
e
x
p
(
−
γ
θ
)
(
11
)
{\displaystyle f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)\qquad (11)}
其中
β
=
v
c
,
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},}
γ
=
1
1
−
β
2
,
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{2}}}}},}
θ
=
k
T
m
c
2
,
{\displaystyle \theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},}
K
2
{\displaystyle K_{2}}
貝索函數 。
![{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfec7dda96a9efc216747994f14901b0efc11db)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a77c1fbe0e0f7199932ffff038baaba8b21a77)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb5368683d11272aa07996ac3b990c73b22648e)
![{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad123ba6085621329737407abb720df6c8f0dea5)
![{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a89582f25c05ffba56e94442596c5399b86502e)
![{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2764bfa37198cf90080b34e353736d59c8097)
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