图册

「转移函数」重定向至此。關於描述系統輸入與輸出之間關係的函數，請見「传递函数」。

在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（英語：atlas）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（英語：chart）给出（也称为坐标卡，coordinate chart，或局部坐标系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。

卡

流形 ${\mathcal {M}}$ 上的一个卡（或区图）是 ${\mathcal {M}}$ 的一个开集 $U$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 中开集 $V$ 的一个同胚映射$\varphi :U\to V$。

卡的定义与图册的定义密切相关。

定义

流形 ${\mathcal {M}}$ 上的一个图册是一族 ${\mathcal {M}}$ 上的卡 ${\mathcal {A}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}$，使得其定义域覆盖整个 ${\mathcal {M}}$ 。

转移映射

如果 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ 与 $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ 是 ${\mathcal {M}}$ 的两个卡，使得 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ 非空，则定义了转移映射（transition map）

$$\varphi _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),$$其中 $\varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}$。

因为 $\varphi _{\alpha }$ 与 $\varphi _{\beta }$ 都是同胚，转移映射也是同胚。所以，转移映射已经赋予了某种相容性，使得从一个卡上的坐标系变到另一个卡上的坐标系是连续的。

两个有重叠的卡 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ 与 $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ 是光滑协调的，如果他们之间的转移映射是从欧几里得空间到自身的光滑映射。

定义了这样概念以后，如果 ${\mathcal {M}}$ 上的一个图册中任意两个有重叠的卡之间的转移映射是光滑协调的，则称这样的图册为光滑图册。

设 ${\mathcal {A}}$ 与 ${\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {M}}$ 上的两个光滑图册。如果${\mathcal {A}}$ 中任意的一个卡与 ${\mathcal {B}}$ 中所有重叠的卡都是光滑协调的，则称 ${\mathcal {A}}$ 与 ${\mathcal {B}}$ 是光滑协调的。如果这样，则 ${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$ 也是 ${\mathcal {M}}$ 上的一个光滑图册。光滑图册的概念给出了一个等价关系，使得可以考虑光滑协调图册的等价类，称为极大图册。一个流形 ${\mathcal {M}}$ 与一个 ${\mathcal {M}}$ 上的极大图册 ${\mathcal {A}}$ 可称为有一个光滑结构。在高维，拓扑流形可能具有不同的光滑结构。第一个例子是约翰·米尔诺发现的怪球面，一个同胚于，但不微分同胚于7维球面的流形。

一般地，用流形的极大图册做计算是不实用的，我们只需要选定一个特定的光滑图册。定义从一个流形到另一个流形的光滑映射时需要用到极大图册。

转移映射的可微性条件可以弱化，所以我们可以只要求转移函数为k-次连续可微；或者加强，所以我们要求转移映射为实解析的。相应地，这便给出了流形上的 $C^{k}$ 或解析结构。类似地，我们可以定义复流形要求转移映射为全纯的。

参考文献

• Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Sepanski, Mark R. Compact Lie Groups. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-30263-8. 

外部链接

• Atlas（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Rowland, Todd