塔珀自指公式

塔珀自指公式（英語：Tupper's self-referential formula）是傑夫·塔珀（英語：Jeff Tupper）發現的自指公式：此公式的二維圖像與公式本身外觀一樣。

歷史

公式最初於他2001年SIGGRAPH的論文中提及。此論文主要討論他開發的GrafEq （页面存档备份，存于互联网档案馆）公式作圖程序的相關方法。此公式在眾多數學與計算機科學課程裡被用作繪製公式圖像的練習作業。

公式

此公式是個不等式：

${1 \over 2}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)},2\right)\right\rfloor$

其中$\lfloor \cdot \rfloor$表示向下取整，$\mathrm {mod}$表示模除。如果讓常數$k$等於：

960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660 129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719

然後將在$0\leq x\leq 105$和$k\leq y\leq k+16$所示範圍中符合以上不等式的點$(x,y-k)$繪製出來，結果會是這樣：

這個公式本身是一個從常數$k$中解碼出一個相對應的黑白位圖的通用方法，因此事實上此公式可以用來繪製任何圖像。當此公式被繪製到$0\leq y$的無界正向帶裡的時候，圖像上顯現出一個縱向窄帶，在此窄帶內所有可能的17像素高的位圖都出現過。這塊無窮大的位圖中有一個橫向切片描繪了繪製函數本身，但這並不意外，因為別的切片會描繪所有能被填進17像素高的位圖中的公式。塔珀還通過電子郵件傳播了這個原始公式的擴展版本，這些版本的公式將其他的切片都抹除了。

這裡的常數$k$是將公式的單色位圖化成二進制后乘以17得來的。如果將$k$除以17（并化成二進制），最小一位代表圖像左下角的像素；最小的17位構成了最左邊的一列像素；第二小的17位構成了左數第二列像素；以此類推。

參見

• 遞歸
• 自產生程式

參考文獻

• Tupper, Jeff. Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables (PDF). The University of Toronto's Dynamic Graphics Project. [2013-01-25]. （原始内容 (PDF)存档于2012-02-05）.  （英文）
• Weisstein, Eric W. (编). Tupper's Self-Referential Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-01-25]. （原始内容存档于2021-02-05） （英语）.  （英文）
• Bailey, D. H.; Borwein, J. M.、Calkin, N. J.、Girgensohn, R.、Luke, D. R.、Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action (PDF). Natick, MA: A. K. Peters. 2006: 289 [2006] [2013-01-25]. ISBN 978-1568812717. （原始内容 (PDF)存档于2012-06-17）.  （英文）
• Self-Answering Problems. Math Horizons. April 2006, (13): 19.  （英文）

外部链接

• 傑夫·塔珀官方主頁 （英文）
• 傑夫·塔珀的原始自指公式的拓展 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• TupperPlot，在JavaScript中的一個實現
• Tupper_self_referential_formula，在Python中的一個實現
• The Library of Babel function （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文），一個塔珀自指公式的工作原理的詳細闡述
• Tupper's Formula Tools，在JavaScript中的一個實現