通約性

假若，兩個不等於零的实数 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 的除商 ${\frac {a}{b}}\,\!$ 是一個有理數，或者說， $a$ 與 $b$ 的比例相等於兩個非零整數 $p$ 與 $q$ 的比例：

a:b=p:q\ (a,b\in R,p,q\in Z\land p,q\neq 0)

，

則稱它們是互相可通約的（commensurable），而這特性則稱為通約性。這意味著，存在一個非零的實數公約數（common measure） $m\ (m\in R,m\neq 0)$ ，使得

a=mp,b=mq

，

所以

a:b=mp:mq=p:q

或是

{\frac {a}{b}}={\frac {mp}{mq}}={\frac {p}{q}}

，

其中 ${\frac {p}{q}}\in Q$ ，所以 ${\frac {a}{b}}\in Q$ 。

反之，如果該二數的除商是一個無理數，則稱它們是不可通約的（incommensurable），亦即， $a$ 與 $b$ 之間不存在一個公約數 $m\ (m\in R,m\neq 0)$ 使得

a=mp,b=mq\ (p,q\in Z)

。

歷史[编辑]

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數） ${\sqrt[{}]{2}}$ ，這破壞了他們的比例論。

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。這本書裡面記載著，假若， $n_{a}\,\!$ 個線段 $c\,\!$ 連接起來，成為一個線段，全等於線段 $a\,\!$ ； $n_{b}\,\!$ 個線段 $c\,\!$ 連接起來，成為一個線段，全等於線段 $b\,\!$ ；這裏， $n_{a}\,\!$ 與 $n_{b}\,\!$ 是整數。那麼，兩個線段 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 是互相可通約的。歐幾里得並沒有用到實數的概念。他用到了線段與線段之間，全等，比較長，或比較短，這些概念。

數學[编辑]

設定實數 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 。那麼，實數 $c\,\!$ ，整數 $n_{a}\,\!$ 與 $n_{b}\,\!$ 的存在，促使

a=n_{a}c\,\!

，

b=n_{b}c\,\!

，

的充分必要條件是除商 ${\frac {a}{b}}\,\!$ 為有理數。

假設 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 是正值的實數。又假設我們有一支尺，長度單位為實數 $c\,\!$ 。我們用這尺來測量兩個長度為 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 的線段。假若，所得到的答案都是整數，則稱 $a\,\!$ 與 $b\,\!$ 互相可通約的；否則，互相不可通約的。

天文學[编辑]

在天文學裏，兩個公轉於運行軌道的天體，像行星、衛星、或小行星，若它們的公轉週期的比例是有理數，則稱它們相互呈現通約性。

物理學[编辑]

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標都有它運動的週期。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期是互相可通約的。假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。

參閱[编辑]